题目
10.(判断题，10分)函数u=sqrt(x^2)+2y^(2)在点(0,0)处沿vec(i)+vec(j)方向的方向导数为(sqrt(6))/(2).A.对B.错
10.(判断题，10分)
函数$u=\sqrt{x^{2}+2y^{2}}$在点(0,0)处沿$\vec{i}+\vec{j}$方向的方向导数为$\frac{\sqrt{6}}{2}$.
A.对
B.错
题目解答
答案
函数 $ u = \sqrt{x^2 + 2y^2} $ 在点 $(0,0)$ 处沿 $\vec{i} + \vec{j}$ 方向的方向导数可使用定义计算。方向向量为 $(1,1)$，单位向量为 $\left( \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2} \right)$。
根据方向导数定义：
\[
\frac{\partial u}{\partial \vec{l}} \bigg|_{(0,0)} = \lim_{t \to 0^+} \frac{u(t \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}, t \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) - u(0,0)}{t}
\]
代入函数得：
\[
\lim_{t \to 0^+} \frac{\sqrt{\left(t \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 + 2\left(t \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2}}{t} = \lim_{t \to 0^+} \frac{t \sqrt{\frac{3}{2}}}{t} = \frac{\sqrt{6}}{2}
\]
因此，方向导数为 $\frac{\sqrt{6}}{2}$，答案为 $\boxed{A}$。
解析
步骤 1：计算方向导数
函数 $u = \sqrt{x^2 + 2y^2}$ 在点 $(0,0)$ 处沿 $\vec{i} + \vec{j}$ 方向的方向导数，首先需要确定方向向量的单位向量。方向向量为 $(1,1)$，其单位向量为 $\left( \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2} \right)$。
步骤 2：应用方向导数定义
根据方向导数的定义，我们有：\[ \frac{\partial u}{\partial \vec{l}} \bigg|_{(0,0)} = \lim_{t \to 0^+} \frac{u(t \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}, t \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) - u(0,0)}{t} \]
步骤 3：代入函数并计算
代入函数 $u = \sqrt{x^2 + 2y^2}$，我们得到：\[ \lim_{t \to 0^+} \frac{\sqrt{\left(t \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 + 2\left(t \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2}}{t} = \lim_{t \to 0^+} \frac{t \sqrt{\frac{3}{2}}}{t} = \frac{\sqrt{6}}{2} \]
函数 $u = \sqrt{x^2 + 2y^2}$ 在点 $(0,0)$ 处沿 $\vec{i} + \vec{j}$ 方向的方向导数，首先需要确定方向向量的单位向量。方向向量为 $(1,1)$，其单位向量为 $\left( \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2} \right)$。
步骤 2：应用方向导数定义
根据方向导数的定义，我们有：\[ \frac{\partial u}{\partial \vec{l}} \bigg|_{(0,0)} = \lim_{t \to 0^+} \frac{u(t \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}, t \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) - u(0,0)}{t} \]
步骤 3：代入函数并计算
代入函数 $u = \sqrt{x^2 + 2y^2}$，我们得到：\[ \lim_{t \to 0^+} \frac{\sqrt{\left(t \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 + 2\left(t \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2}}{t} = \lim_{t \to 0^+} \frac{t \sqrt{\frac{3}{2}}}{t} = \frac{\sqrt{6}}{2} \]