题目
试根据式(6.2.13)证明：在体积V内，在ε到ε+de的能量范围内，三维自由粒子的量子态数为(varepsilon )de=dfrac (2pi V)({h)^3}((2m))^dfrac (3{2)}(e)^dfrac (1{2)}de
试根据式(6.2.13)证明：在体积V内，在ε到ε+de的能量范围内，三维自由粒子的量子态数为
题目解答
答案
参考答案：
解析
步骤 1：理解式(6.2.13)
式(6.2.13)给出，在体积 $V={L}^{3}$ 内，在 $p_x$ 到 $p_x+dp_x$，$p_y$ 到 $p_y+dp_y$，$p_z$ 到 $p_z+dp_z$ 的动量范围内，自由粒子可能的量子态数为 $\dfrac {V}{{h}^{3}}dp_xdp_ydp_z$。这表示在给定体积内，动量空间中一个微小区域内的量子态数。
步骤 2：转换到动量空间的球坐标
用动量空间的球坐标描述自由粒子的动量，动量大小为 $p$，方向由两个角度 $\theta$ 和 $\phi$ 确定。动量空间的体积元为 $4\pi p^2dp$，其中 $4\pi$ 是球面的面积，$p^2dp$ 是球壳的体积。因此，在体积 $V$ 内，动量大小在 $p$ 到 $p+dp$ 范围内三维自由粒子可能的量子态数为 $\dfrac {4\pi V}{{h}^{3}}p^2dp$。
步骤 3：将动量与能量联系起来
自由粒子的能量动量关系为 $\varepsilon =\dfrac {{p}^{2}}{2m}$，因此 $p=\sqrt {2m\varepsilon}$，$pdp=md\varepsilon$。将 $pdp$ 代入步骤 2 中的量子态数公式，得到在体积 $V$ 内，在 $\varepsilon$ 到 $\varepsilon+d\varepsilon$ 的能量范围内，三维自由粒子的量子态数为 $D(\varepsilon)d\varepsilon=\dfrac {2\pi V}{{h}^{3}}{(2m)}^{\dfrac {3}{2}}\varepsilon^{\dfrac {1}{2}}d\varepsilon$。
式(6.2.13)给出，在体积 $V={L}^{3}$ 内，在 $p_x$ 到 $p_x+dp_x$，$p_y$ 到 $p_y+dp_y$，$p_z$ 到 $p_z+dp_z$ 的动量范围内，自由粒子可能的量子态数为 $\dfrac {V}{{h}^{3}}dp_xdp_ydp_z$。这表示在给定体积内，动量空间中一个微小区域内的量子态数。
步骤 2：转换到动量空间的球坐标
用动量空间的球坐标描述自由粒子的动量，动量大小为 $p$，方向由两个角度 $\theta$ 和 $\phi$ 确定。动量空间的体积元为 $4\pi p^2dp$，其中 $4\pi$ 是球面的面积，$p^2dp$ 是球壳的体积。因此，在体积 $V$ 内，动量大小在 $p$ 到 $p+dp$ 范围内三维自由粒子可能的量子态数为 $\dfrac {4\pi V}{{h}^{3}}p^2dp$。
步骤 3：将动量与能量联系起来
自由粒子的能量动量关系为 $\varepsilon =\dfrac {{p}^{2}}{2m}$，因此 $p=\sqrt {2m\varepsilon}$，$pdp=md\varepsilon$。将 $pdp$ 代入步骤 2 中的量子态数公式，得到在体积 $V$ 内，在 $\varepsilon$ 到 $\varepsilon+d\varepsilon$ 的能量范围内，三维自由粒子的量子态数为 $D(\varepsilon)d\varepsilon=\dfrac {2\pi V}{{h}^{3}}{(2m)}^{\dfrac {3}{2}}\varepsilon^{\dfrac {1}{2}}d\varepsilon$。