题目
16．一个半径为R的均匀带电半圆环，电荷线密度为λ，求环心处O点的场强． ↑y-|||-dl-|||-o x-|||-dE
16．一个半径为R的均匀带电半圆环，电荷线密度为λ，求环心处O点的场强．
题目解答
答案
分析 在图中半圆环上一个很小的微元，得到其电荷量，由点电荷场强公式求得它在O点的场强，运用积分法求环心处O点的场强．
解答 解：如图在图上取 dl=Rdφ
其电荷量为 dq=λdl=Rλdφ，它在O点产生的场强大小为
dE=$\frac{kdq}{{R}^{2}}$=$\frac{kRλdφ}{{R}^{2}}$，方向沿半径向外
则 dE x =dEsinφ=$\frac{kλ}{R}$sinφdφ
dE y =dEcos（π-φ）=-$\frac{kλ}{R}$cosφdφ
积分得：E x =${∫}_{0}^{π}$$\frac{kλ}{R}$sinφdφ=$\frac{2kλ}{R}$
E y =${∫}_{0}^{π}$（-$\frac{kλ}{R}$cosφ）dφ=0
所以环心处O点的场强 E=E x =$\frac{2kλ}{R}$，方向沿x轴正向．
答：环心处O点的场强大小为$\frac{2kλ}{R}$，方向沿x轴正向．
其电荷量为 dq=λdl=Rλdφ，它在O点产生的场强大小为
dE=$\frac{kdq}{{R}^{2}}$=$\frac{kRλdφ}{{R}^{2}}$，方向沿半径向外
则 dE x =dEsinφ=$\frac{kλ}{R}$sinφdφ
dE y =dEcos（π-φ）=-$\frac{kλ}{R}$cosφdφ
积分得：E x =${∫}_{0}^{π}$$\frac{kλ}{R}$sinφdφ=$\frac{2kλ}{R}$
E y =${∫}_{0}^{π}$（-$\frac{kλ}{R}$cosφ）dφ=0
所以环心处O点的场强 E=E x =$\frac{2kλ}{R}$，方向沿x轴正向．
答：环心处O点的场强大小为$\frac{2kλ}{R}$，方向沿x轴正向．
点评 解决本题的关键要掌握积分法求合场强的方向，要有运用数学知识解决物理问题的能力．
解析
步骤 1：微元法
在半圆环上取一个微小的电荷元 dl，其长度为 Rdφ，电荷量为 dq = λdl = λRdφ。
步骤 2：微元电荷在O点产生的场强
根据点电荷场强公式，微元电荷在O点产生的场强大小为 dE = k * dq / R^2 = k * λRdφ / R^2 = kλdφ / R。
步骤 3：场强的分量
由于半圆环对称，场强在y方向的分量相互抵消，只考虑x方向的分量。dE_x = dE * sinφ = kλdφ / R * sinφ。
步骤 4：积分求解
对dE_x进行积分，从φ=0到φ=π，得到E_x = ∫(kλ/R)sinφdφ = (kλ/R) * [-cosφ]_0^π = (kλ/R) * 2 = 2kλ/R。
步骤 5：场强方向
由于半圆环对称，场强方向沿x轴正向。
在半圆环上取一个微小的电荷元 dl，其长度为 Rdφ，电荷量为 dq = λdl = λRdφ。
步骤 2：微元电荷在O点产生的场强
根据点电荷场强公式，微元电荷在O点产生的场强大小为 dE = k * dq / R^2 = k * λRdφ / R^2 = kλdφ / R。
步骤 3：场强的分量
由于半圆环对称，场强在y方向的分量相互抵消，只考虑x方向的分量。dE_x = dE * sinφ = kλdφ / R * sinφ。
步骤 4：积分求解
对dE_x进行积分，从φ=0到φ=π，得到E_x = ∫(kλ/R)sinφdφ = (kλ/R) * [-cosφ]_0^π = (kλ/R) * 2 = 2kλ/R。
步骤 5：场强方向
由于半圆环对称，场强方向沿x轴正向。