题目
无限长直导线通以电流=(I)_(0)(e)^-8t，有一与之共面的矩形线圈，其边长为=(I)_(0)(e)^-8t的长边与长直导线平行，两长边与长直导线的距离分别为=(I)_(0)(e)^-8t、=(I)_(0)(e)^-8t，位置如图所示，求：（1）在任意时刻=(I)_(0)(e)^-8t通过矩形线圈的磁通量；（2）矩形线圈内的感应电动势的大小和感应电动势的方向；（3）导线与线圈的互感系数。=(I)_(0)(e)^-8t
无限长直导线通以电流
，有一与之共面的矩形线圈，其边长为
的长边与长直导线平行，两长边与长直导线的距离分别为
、
，位置如图所示，求：
（1）在任意时刻
通过矩形线圈的磁通量；
（2）矩形线圈内的感应电动势的大小和感应电动势的方向；
（3）导线与线圈的互感系数。
题目解答
答案
（1）无限长直导线磁感应强度为
，则任意时刻通过矩形线圈的磁通量为，代入，
（2）矩形线圈内的感应电动势为，
（3）导线与线圈的互感系数为，
。
解析
步骤 1：计算任意时刻通过矩形线圈的磁通量
无限长直导线的磁感应强度为$B=\dfrac {{\mu }_{0}I}{2\pi r}$，其中${\mu }_{0}$是真空磁导率，$I$是电流，$r$是到导线的距离。矩形线圈的磁通量可以通过积分计算，积分范围是线圈的宽度$b$，积分变量是$r$，从$a$到$a+b$。因此，磁通量$\phi$为：
$$\phi = \int_{a}^{a+b} B \cdot L \, dr = \int_{a}^{a+b} \dfrac{{\mu }_{0}I}{2\pi r} \cdot L \, dr$$
代入$I={I}_{0}{e}^{-8t}$，得到：
$$\phi = \dfrac{{\mu }_{0}{I}_{0}{e}^{-8t}L}{2\pi} \int_{a}^{a+b} \dfrac{1}{r} \, dr = \dfrac{{\mu }_{0}{I}_{0}{e}^{-8t}L}{2\pi} \ln \left(\dfrac{a+b}{a}\right)$$
步骤 2：计算矩形线圈内的感应电动势的大小和方向
根据法拉第电磁感应定律，感应电动势$E$等于磁通量对时间的负导数，即$E = -\dfrac{d\phi}{dt}$。代入$\phi$的表达式，得到：
$$E = -\dfrac{d}{dt} \left(\dfrac{{\mu }_{0}{I}_{0}{e}^{-8t}L}{2\pi} \ln \left(\dfrac{a+b}{a}\right)\right) = \dfrac{{\mu }_{0}{I}_{0}8{e}^{-8t}L}{2\pi} \ln \left(\dfrac{a+b}{a}\right)$$
感应电动势的方向遵循楞次定律，即感应电流产生的磁场会阻碍引起感应电流的磁通量的变化。因此，感应电动势的方向与电流$I$的方向相反。
步骤 3：计算导线与线圈的互感系数
互感系数$M$定义为磁通量$\phi$与电流$I$的比值，即$M = \dfrac{\phi}{I}$。代入$\phi$的表达式，得到：
$$M = \dfrac{\dfrac{{\mu }_{0}{I}_{0}{e}^{-8t}L}{2\pi} \ln \left(\dfrac{a+b}{a}\right)}{{I}_{0}{e}^{-8t}} = \dfrac{{\mu }_{0}L}{2\pi} \ln \left(\dfrac{a+b}{a}\right)$$
无限长直导线的磁感应强度为$B=\dfrac {{\mu }_{0}I}{2\pi r}$，其中${\mu }_{0}$是真空磁导率，$I$是电流，$r$是到导线的距离。矩形线圈的磁通量可以通过积分计算，积分范围是线圈的宽度$b$，积分变量是$r$，从$a$到$a+b$。因此，磁通量$\phi$为：
$$\phi = \int_{a}^{a+b} B \cdot L \, dr = \int_{a}^{a+b} \dfrac{{\mu }_{0}I}{2\pi r} \cdot L \, dr$$
代入$I={I}_{0}{e}^{-8t}$，得到：
$$\phi = \dfrac{{\mu }_{0}{I}_{0}{e}^{-8t}L}{2\pi} \int_{a}^{a+b} \dfrac{1}{r} \, dr = \dfrac{{\mu }_{0}{I}_{0}{e}^{-8t}L}{2\pi} \ln \left(\dfrac{a+b}{a}\right)$$
步骤 2：计算矩形线圈内的感应电动势的大小和方向
根据法拉第电磁感应定律，感应电动势$E$等于磁通量对时间的负导数，即$E = -\dfrac{d\phi}{dt}$。代入$\phi$的表达式，得到：
$$E = -\dfrac{d}{dt} \left(\dfrac{{\mu }_{0}{I}_{0}{e}^{-8t}L}{2\pi} \ln \left(\dfrac{a+b}{a}\right)\right) = \dfrac{{\mu }_{0}{I}_{0}8{e}^{-8t}L}{2\pi} \ln \left(\dfrac{a+b}{a}\right)$$
感应电动势的方向遵循楞次定律，即感应电流产生的磁场会阻碍引起感应电流的磁通量的变化。因此，感应电动势的方向与电流$I$的方向相反。
步骤 3：计算导线与线圈的互感系数
互感系数$M$定义为磁通量$\phi$与电流$I$的比值，即$M = \dfrac{\phi}{I}$。代入$\phi$的表达式，得到：
$$M = \dfrac{\dfrac{{\mu }_{0}{I}_{0}{e}^{-8t}L}{2\pi} \ln \left(\dfrac{a+b}{a}\right)}{{I}_{0}{e}^{-8t}} = \dfrac{{\mu }_{0}L}{2\pi} \ln \left(\dfrac{a+b}{a}\right)$$