一衍射光栅,每厘米200条透光缝,每条透光缝宽为a=2×10-3 cm,在光栅后放一焦距f=1 m的凸透镜,现以=600 nm (1 nm=10-9 m)的单色平行光垂直照射光栅,求:(1) 透光缝a的单缝衍射中央明条纹宽度为多少?(2) 在该宽度内,有几个光栅衍射主极大?

考查要点：本题综合考查单缝衍射和光栅衍射的规律，需结合两种衍射条件分析主极大数目。

解题思路：

1. 单缝衍射中央明纹宽度：由单缝衍射暗纹条件 $a \sin\theta = k\lambda$，当 $\theta$ 很小（$\sin\theta \approx \tan\theta = x/f$）时，可推导出中央明纹宽度 $\Delta x = 2\lambda f / a$。
2. 光栅衍射主极大数目：光栅方程 $(a+b)\sin\theta = k'\lambda$，需结合单缝衍射的中央明纹范围 $\sin\theta \leq \lambda/a$，确定 $k'$ 的整数解范围。

关键点：

• 单位统一：需将缝宽 $a$、波长 $\lambda$ 转换为米制。
• 光栅常数：$a + b = d = 1\text{cm}/200 = 5 \times 10^{-5}\text{m}$。

第（1）题：单缝衍射中央明条纹宽度

单缝衍射暗纹条件

单缝衍射暗纹满足 $a \sin\theta = k\lambda$，当 $\theta$ 很小，$\sin\theta \approx \tan\theta = x/f$，得：
$x = \frac{k\lambda f}{a}$

中央明纹宽度

取 $k=1$ 时，对应第一个暗纹位置 $x = \lambda f / a$，中央明纹宽度为两侧暗纹间的距离：
$\Delta x = 2x = \frac{2\lambda f}{a}$

代入数据

$\lambda = 600\text{nm} = 6 \times 10^{-7}\text{m}$，$a = 2 \times 10^{-3}\text{cm} = 2 \times 10^{-5}\text{m}$，$f = 1\text{m}$：
$\Delta x = \frac{2 \cdot 6 \times 10^{-7} \cdot 1}{2 \times 10^{-5}} = 0.06\text{m}$

第（2）题：光栅衍射主极大数目

光栅方程

光栅主极大满足 $(a+b)\sin\theta = k'\lambda$，其中 $a + b = d = 5 \times 10^{-5}\text{m}$。

结合单缝条件

单缝中央明纹要求 $\sin\theta \leq \lambda/a = 3 \times 10^{-4}$，代入光栅方程：
$k'\lambda \leq d \cdot \frac{\lambda}{a} \implies k' \leq \frac{d}{a} = \frac{5 \times 10^{-5}}{2 \times 10^{-5}} = 2.5$

确定整数解

$k'$ 取整数，满足 $|k'| \leq 2.5$，即 $k' = 0, \pm1, \pm2$，共 5个主极大。