题目
设 D=(x,y)|-1leq x leq 1, -1 leq y leq 1，则二重积分 I=iint_(D)(1+y^2 sin x), dsigma=（）A. I=0B. I=-4C. I=4D. I=1
设 $D=\{(x,y)|-1\leq x \leq 1, -1 \leq y \leq 1\}$，则二重积分 $I=\iint_{D}(1+y^2 \sin x)\, d\sigma=$（）
A. $I=0$
B. $I=-4$
C. $I=4$
D. $I=1$
题目解答
答案
C. $I=4$
解析
步骤 1：确定积分区域
积分区域 $D$ 是一个边长为2的正方形，其顶点为 $(-1,-1)$，$(-1,1)$，$(1,-1)$ 和 $(1,1)$。因此，$D$ 可以表示为 $-1 \le x \le 1$ 和 $-1 \le y \le 1$。
步骤 2：计算二重积分
二重积分 $I$ 可以表示为：\[ I = \iint_{D}(1 + y^2 \sin x)\, d\sigma = \int_{-1}^{1} \int_{-1}^{1} (1 + y^2 \sin x) \, dy \, dx. \]
步骤 3：先对 $y$ 积分
先对 $y$ 积分，得到：\[ \int_{-1}^{1} (1 + y^2 \sin x) \, dy = \left[ y + \frac{y^3}{3} \sin x \right]_{-1}^{1} = 2 + \frac{2}{3} \sin x. \]
步骤 4：再对 $x$ 积分
再对 $x$ 积分，得到：\[ I = \int_{-1}^{1} \left( 2 + \frac{2}{3} \sin x \right) \, dx = \left[ 2x - \frac{2}{3} \cos x \right]_{-1}^{1} = 4 + 0 = 4. \]
步骤 5：利用对称性
或者，利用对称性：$1$ 关于 $x$、$y$ 均为偶函数，积分结果为区域面积 $4$；$y^2 \sin x$ 关于 $x$ 为奇函数，积分结果为 $0$。
积分区域 $D$ 是一个边长为2的正方形，其顶点为 $(-1,-1)$，$(-1,1)$，$(1,-1)$ 和 $(1,1)$。因此，$D$ 可以表示为 $-1 \le x \le 1$ 和 $-1 \le y \le 1$。
步骤 2：计算二重积分
二重积分 $I$ 可以表示为：\[ I = \iint_{D}(1 + y^2 \sin x)\, d\sigma = \int_{-1}^{1} \int_{-1}^{1} (1 + y^2 \sin x) \, dy \, dx. \]
步骤 3：先对 $y$ 积分
先对 $y$ 积分，得到：\[ \int_{-1}^{1} (1 + y^2 \sin x) \, dy = \left[ y + \frac{y^3}{3} \sin x \right]_{-1}^{1} = 2 + \frac{2}{3} \sin x. \]
步骤 4：再对 $x$ 积分
再对 $x$ 积分，得到：\[ I = \int_{-1}^{1} \left( 2 + \frac{2}{3} \sin x \right) \, dx = \left[ 2x - \frac{2}{3} \cos x \right]_{-1}^{1} = 4 + 0 = 4. \]
步骤 5：利用对称性
或者，利用对称性：$1$ 关于 $x$、$y$ 均为偶函数，积分结果为区域面积 $4$；$y^2 \sin x$ 关于 $x$ 为奇函数，积分结果为 $0$。