题目

设L为圆周x^2+y^2=1，oint_(L)(x^2+y^2)ds=().A. int_(0)^2pir^2dthetaB. int_(0)^2pisqrt(2)dthetaC. int_(2pi)^0dthetaD. int_(0)^2pidtheta

设$L$为圆周$x^{2}+y^{2}=1$，$\oint_{L}(x^{2}+y^{2})ds=$().

A. $\int_{0}^{2\pi}r^{2}d\theta$

B. $\int_{0}^{2\pi}\sqrt{2}d\theta$

C. $\int_{2\pi}^{0}d\theta$

D. $\int_{0}^{2\pi}d\theta$

题目解答

答案

D. $\int_{0}^{2\pi}d\theta$

解析

本题考查第一类曲线积分的计算，解题思路是将曲线积分转化为定积分进行进行计算。

  1. 已知曲线$L$为圆周$x^{2}+y^{2}=1$，曲线积分$\oint_{L}(x^{2}+y^{2})ds$，因为在曲线$L$上$这里的\(x^{2}+y^{2}=1$是曲线方程)
  2. 利用参数方程$x = \cos\theta,y = sin\theta$，$\theta\in[0,2\pi]$，此时$ds=\sqrt{(\frac{x}'\})^2+(\{y}'\})^2}d\theta=\sqrt{(-sin\theta)^2+(cos\theta)^2}d\theta = d\theta$。
  3. 把$x^{2}+y^{2}=1$代入曲线积分$\oint_{L}(x^{2}+y^{2})ds$中，得到$\oint_{L}(x^{2}+y^{2})ds=\int_{0}^{2\pi}1\cdot d\theta=\int_{0}^{2\pi}d\theta$。