题目

10.1.1设有一平面薄板（不计其厚度），占有xOy平面上的闭区域D，薄板上分布着面密度为mu=mu(x,y)的电荷，且mu(x,y)在D上连续，则该板上的全部电荷Q可表示为（）。A. iintlimits_(D)mu(x,y)dsigmaB. limlimits_(lambdatoinfty)sumlimits_(i=1)^nmu(xi_(i),eta_(i))Deltasigma_(i)，其中λ是各Deltasigma_(i)中的最大直径C. iintlimits_(D)mu^prime(x,y)dsigmaD. limlimits_(lambdato0)sumlimits_(i=1)^neta_(i)mu(xi_(i),eta_(i))Deltasigma_(i)，其中λ是各Deltasigma_(i)中的最大直径

10.1.1 设有一平面薄板（不计其厚度），占有xOy平面上的闭区域D，薄板上分布着面密度为$\mu=\mu(x,y)$的电荷，且$\mu(x,y)$在D上连续，则该板上的全部电荷Q可表示为（）。

A. $\iint\limits_{D}\mu(x,y)d\sigma$

B. $\lim\limits_{\lambda\to\infty}\sum\limits_{i=1}^{n}\mu(\xi_{i},\eta_{i})\Delta\sigma_{i}$，其中λ是各$\Delta\sigma_{i}$中的最大直径

C. $\iint\limits_{D}\mu^{\prime}(x,y)d\sigma$

D. $\lim\limits_{\lambda\to0}\sum\limits_{i=1}^{n}\eta_{i}\mu(\xi_{i},\eta_{i})\Delta\sigma_{i}$，其中λ是各$\Delta\sigma_{i}$中的最大直径

题目解答

答案

A. $\iint\limits_{D}\mu(x,y)d\sigma$

解析

本题考查利用二重积分的定义来计算平面薄板上的全部电荷，解题思路是通过将平面薄板分割、近似代替、求和、取极限这四个步骤，推导出平面薄板上全部电荷的表达式。

  1. 分割：
    用任意的曲线网将闭区域 $D$ 分成 $n$ 个小闭区域 $\Delta\sigma_1,\Delta\sigma_2,\cdots,\Delta\sigma_n$，其中 $\Delta\sigma_i$ 表示第 $i$ 个小闭区域，同时也表示它的面积。
  2. 近似代替：
    在每个小闭区域 $\Delta\sigma_i$ 上任取一点 $(\xi_i,\eta_i)$，由于 $\mu(x,y)$ 在 $D$ 上连续，当 $\Delta\sigma_i$ 的直径很小时，$\mu(x,y)$ 在 $\Delta\sigma_i$ 上的变化很小，所以可以用 $\mu(\xi_i,\eta_i)$ 近似表示 $\Delta\sigma_i$ 上各点的面密度。那么第 $i$ 个小闭区域上的电荷 $\Delta Q_i$ 近似为 $\Delta Q_i\approx\mu(\xi_i,\eta_i)\Delta\sigma_i$。
  3. 求和：
    整个平面薄板上的全部电荷 $Q$ 近似等于这 $n$ 个小闭区域上电荷的和，即 $Q\approx\sum_{i = 1}^{n}\mu(\xi_i,\eta_i)\Delta\sigma_i$。
  4. 取极限：
    为了得到 $Q$ 的精确值，令 $\lambda$ 是各 $\Delta\sigma_i$ 中的最大直径，当 $\lambda\to0$ 时，上述和式的极限就是平面薄板上的全部电荷 $Q$，即 $Q = \lim\limits_{\lambda\to0}\sum_{i = 1}^{n}\mu(\xi_i,\eta_i)\Delta\sigma_i$。
    根据二重积分的定义，$\lim\limits_{\lambda\to0}\sum_{i = 1}^{n}\mu(\xi_i,\eta_i)\Delta\sigma_i=\iint\limits_{D}\mu(x,y)d\sigma$。