题目

4.8 (1) 证明一个简单正方晶格在第一布里渊区顶角上一个自由电子的动能比该区一中点大2倍.(2) 对一个简单立方晶格，在第一布里渊区顶角上一个自由电子的动能比该区面心上大多少？(3) 说明(2)的结果对2价金属的电导有什么影响？

4.8 (1) 证明一个简单正方晶格在第一布里渊区顶角上一个自由电子的动能比该区一中点大2倍.

(2) 对一个简单立方晶格，在第一布里渊区顶角上一个自由电子的动能比该区面心上大多少？

(3) 说明(2)的结果对2价金属的电导有什么影响？

题目解答

答案

1. 对简单正方晶格，顶角处 $ E_{\text{顶角}} = \frac{\hbar^2 \pi^2}{m a^2} $，边中点处 $ E_{\text{中点}} = \frac{\hbar^2 \pi^2}{2 m a^2} $，故 $ E_{\text{顶角}} = 2 E_{\text{中点}} $。 2. 对简单立方晶格，顶角处 $ E_{\text{顶角}} = \frac{3 \hbar^2 \pi^2}{2 m a^2} $，面心处 $ E_{\text{面心}} = \frac{\hbar^2 \pi^2}{m a^2} $，动能差为 $ \Delta E = \frac{\hbar^2 \pi^2}{2 m a^2} $。 3. 对2价金属，简单立方结构中 $ E_{\text{顶角}} > E_{\text{面心}} $，费米能级附近能带结构不利于电子迁移，导致电导率较低。 答案： (1) $ E_{\text{顶角}} = 2 E_{\text{中点}} $。 (2) $ \Delta E = \frac{\hbar^2 \pi^2}{2 m a^2} $。 (3) 简单立方结构中，$ E_{\text{顶角}} > E_{\text{面心}} $，费米能级附近能带结构不利于电子迁移，导致2价金属电导率较低。

解析

本题主要考察自由电子在不同晶格第一布里渊区特定位置的动能计算以及对2价金属电导影响的理解。解题的关键在于明确不同晶格第一布里渊区顶角和中点、面心的波矢，再根据自由电子动能公式计算动能，最后分析对2价金属电导的影响。

(1) 证明简单正方晶格在第一布里渊区顶角上一个自由电子的动能比该区一中点大2倍

  • 确定波矢：
    • 对于简单正方晶格，晶格常数为 $a$。第一布里渊区顶角的波矢 $\vec{k}_{\text{顶角}}$，在二维情况下，沿两个正交方向的分量均为 $\frac{\pi}{a}$，即 $\vec{k}_{\text{顶角}} = (\frac{\pi}{a}, \frac{\pi}{a})$，其模长 $k_{\text{顶角}}=\sqrt{(\frac{\pi}{a})^2 + (\frac{\pi}{a})^2}=\sqrt{2}\frac{\pi}{a}$。
    • 第一布里渊区边中点的波矢 $\vec{k}_{\text{中点}}$，沿一个方向分量为 $\frac{\pi}{a}$，另一个方向分量为 $0$，即 $\vec{k}_{\text{中点}} = (\frac{\pi}{a}, 0)$，其模长 $k_{\text{中点}}=\frac{\pi}{a}$。
  • 计算动能：
    • 自由电子的动能公式为 $E = \frac{\hbar^2 k^2}{2m}$。
    • 顶角处的动能 $E_{\text{顶角}}=\frac{\hbar^2 k_{\text{顶角}}^2}{2m}=\frac{\hbar^2 (\sqrt{2}\frac{\pi}{a})^2}{2m}=\frac{\hbar^2 \cdot 2\frac{\pi^2}{a^2}}{2m}=\frac{\hbar^2 \pi^2}{m a^2}$。
    • 中点处的动能 $E_{\text{中点}}=\frac{\hbar^2 k_{\text{中点}}^2}{2m}=\frac{\hbar^2 (\frac{\pi}{a})^2}{2m}=\frac{\hbar^2 \pi^2}{2 m a^2}$。
  • 比较动能：
    • 计算可得 $\frac{E_{\text{顶角}}}{E_{\text{中点}}}=\frac{\frac{\hbar^2 \pi^2}{m a^2}}{\frac{\hbar^2 \pi^2}{2 m a^2}} = 2$，即 $E_{\text{顶角}} = 2 E_{\text{中点}}$。

(2) 计算简单立方晶格在第一布里渊区顶角上一个自由电子的动能比该区面心上大多少

  • 确定波矢：
    • 对于简单立方晶格，晶格常数为 $a$。第一布里渊区顶角的波矢 $\vec{k}_{\text{顶角}}$，在三维情况下，沿三个正交方向的分量均为 $\frac{\pi}{a}$，即 $\vec{k}_{\text{顶角}} = (\frac{\pi}{a}, \frac{\pi}{a}, \frac{\pi}{a})$，其模长 $k_{\text{顶角}}=\sqrt{(\frac{\pi}{a})^2 + (\frac{\pi}{a})^2 + (\frac{\pi}{a})^2}=\sqrt{3}\frac{\pi}{a}$。
    • 第一布里渊区面心的波矢 $\vec{k}_{\text{面心}}$，沿两个方向分量为 $\frac{\pi}{a}$，另一个方向分量为 $0$，例如 $\vec{k}_{\text{面心}} = (\frac{\pi}{a}, \frac{\pi}{a}, 0)$，其模长 $k_{\text{面心}}=\sqrt{(\frac{\pi}{a})^2 + (\frac{\pi}{a})^2 + 0^2}=\sqrt{2}\frac{\pi}{a}$。
  • 计算动能：
    • 顶角处的动能 $E_{\text{顶角}}=\frac{\hbar^2 k_{\text{顶角}}^2}{2m}=\frac{\hbar^2 (\sqrt{3}\frac{\pi}{a})^2}{2m}=\frac{\hbar^2 \cdot 3\frac{\pi^2}{a^2}}{2m}=\frac{3 \hbar^2 \pi^2}{2 m a^2}$。
    • 面心处的动能 $E_{\text{面心}}=\frac{\hbar^2 k_{\text{面心}}^2}{2m}=\frac{\hbar^2 (\sqrt{2}\frac{\pi}{a})^2}{2m}=\frac{\hbar^2 \cdot 2\frac{\pi^2}{a^2}}{2m}=\frac{\hbar^2 \pi^2}{m a^2}$。
  • 计算动能差：
    • 动能差 $\Delta E = E_{\text{顶角}} - E_{\text{面心}}=\frac{3 \hbar^2 \pi^2}{2 m a^2}-\frac{\hbar^2 \pi^2}{m a^2}=\frac{3 \hbar^2 \pi^2 - 2\hbar^2 \pi^2}{2 m a^2}=\frac{\hbar^2 \pi^2}{2 m a^2}$。

(3) 说明(2)的结果对2价金属的电导有什么影响

  • 对于2价金属，每个原子有2个价电子。在简单立方结构中，由于 $E_{\text{顶角}} > E_{\text{面心}}$，费米能级附近的能带结构使得电子倾向于占据能量较低的面心位置。
  • 电子在面心位置的分布不利于电子在晶体中的迁移，因为电子要从一个面心位置迁移到另一个位置需要克服一定的能量障碍，导致电子的迁移率降低，从而使得2价金属的电导率较低。