题目

一长为L的圆柱形电容器由半径为a的内芯导线和半径为b的外部导体薄壳所组成，其间有介电常量为εr的电介质。试求:(1)电容器的电容;试求:(1)电容器的电容;试求:(1)电容器的电容;

一长为L的圆柱形电容器由半径为a的内芯导线和半径为b的外部导体薄壳所组成，其间有介电常量为εr的电介质。

题目解答

答案



解析

题目考察知识

本题主要考察圆柱形电容器的电容计算以及静电场能量与力的关系，涉及高斯定理、电势差定义、电容并联规律及能量守恒。

（1）电容器的电容计算

关键思路：利用高斯定理求电场，再计算电势差，最后由电容定义推导

  1. 电场分布：
    内芯导线（半径$a$）带电量$Q$，外部导体薄壳（半径$b$）带$-Q$，电荷均匀分布，电场具轴对称性。取半径$r(a $\oint \vec{E} \cdot d\vec{S} = \frac{Q}{\varepsilon_0\varepsilon_r} \implies E \cdot 2\pi r L = \frac{Q}{\varepsilon_0\varepsilon_r} \implies E = \frac{Q}{2\pi\varepsilon_0\varepsilon_r L r}$

  2. 电势差计算：
    极板间电势差$U$为电场沿径向积分：
    $U = \int_a^b E \cdot dr = \int_a^b \frac{Q}{2\pi\varepsilon_0\varepsilon_r L r} dr = \frac{Q}{2\pi\varepsilon_0\varepsilon_r L} \ln\frac{b}{a}$

  3. 电容定义：
    由$C=\frac{Q}{U}$，得：
    $C = \frac{2\pi\varepsilon_0\varepsilon_r L}{\ln\frac{b}{a}}$

（2）拉出介质时的作用力计算

关键思路：等效为电容并联，能量变化等于外力做功

  1. 等效电容：
    拉出长度$x$后，介质部分（长度$x$）电容$C_1=\frac{2\pi\varepsilon_0 x}{\ln\frac{b}{a}}$（空气$\varepsilon_r=1$），剩余介质部分（长度$L-x$）电容$C_2=\frac{2\pi\varepsilon_0\varepsilon_r (L-x)}{\ln\frac{b}{a}}$，总电容并联：
    $C(x) = C_1 + C_2 = \frac{2\pi\varepsilon_0}{\ln\frac{b}{a}} \left[ x + \varepsilon_r (L-x) \right] = \frac{2\pi\varepsilon_0}{\ln\frac{b}{a}} \left[ \varepsilon_r L + x(1-\varepsilon_r) \right]$

  2. 能量变化与外力做功：
    电源电压$U$不变，系统能量$W=\frac{1}{2}CU^2$，微分得：
    $dW = \frac{1}{2}U^2 dC$
    外力做功$dW=Fdx$，故$Fdx=\frac{1}{2}U^2 dC$。计算$dC$：
    $dC = \frac{2\pi\varepsilon_0}{\ln\frac{b}{a}} (1-\varepsilon_r) dx$
    代入得：
    $F = \frac{1}{2}U^2 \cdot \frac{2\pi\varepsilon_0 (1-\varepsilon_r)}{\ln\frac{b}{a}} = \frac{\pi\varepsilon_0 U^2 (\varepsilon_r - 1)}{\ln\frac{b}{a}}$
    （力的方向与$x$增加方向一致，故取正值）