题目
一根很长的铜导线,载有电流10A,且电流均匀分布在铜导线的-|||-横截面上.在导线内部,通过中心轴线作一平面S,如图所示.试计算通过导-|||-线 l=1m 长的S平面内的磁通量. S
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定磁感应强度的分布
根据安培环路定理，对于一根长直导线，其内部的磁感应强度 $B$ 与距离导线中心轴线的距离 $r$ 成正比，即 $B=\dfrac{{\mu }_{0}Ir}{2\pi {R}^{2}}$，其中 $I$ 是导线中的电流，$R$ 是导线的半径，${\mu }_{0}$ 是真空磁导率。
步骤 2：计算磁通量
磁通量 $\phi$ 是磁感应强度 $B$ 在给定面积上的积分。由于磁感应强度在导线内部是径向对称的，因此我们可以通过积分来计算通过导线内部的平面 $S$ 的磁通量。平面 $S$ 是一个平行于导线轴线的细带区域，其面积元为 $dS=ldr$，其中 $l$ 是导线的长度，$r$ 是距离导线中心轴线的距离。因此，磁通量 $\phi$ 可以表示为 $\phi=\int B\cdot dS=\int_{0}^{R} \dfrac{{\mu }_{0}Ir}{2\pi {R}^{2}}ldr$。
步骤 3：计算积分
将磁感应强度 $B$ 的表达式代入磁通量 $\phi$ 的积分表达式中，得到 $\phi=\int_{0}^{R} \dfrac{{\mu }_{0}Ir}{2\pi {R}^{2}}ldr=\dfrac{{\mu }_{0}Il}{2\pi {R}^{2}}\int_{0}^{R} rdr=\dfrac{{\mu }_{0}Il}{2\pi {R}^{2}}\cdot \dfrac{R^{2}}{2}=\dfrac{{\mu }_{0}Il}{4\pi }$。将 $I=10A$，$l=1m$，${\mu }_{0}=4\pi \times {10}^{-7}T\cdot m/A$ 代入上式，得到 $\phi=\dfrac{4\pi \times {10}^{-7}T\cdot m/A\times 10A\times 1m}{4\pi }=1.0\times {10}^{-6}Wb$。
根据安培环路定理，对于一根长直导线，其内部的磁感应强度 $B$ 与距离导线中心轴线的距离 $r$ 成正比，即 $B=\dfrac{{\mu }_{0}Ir}{2\pi {R}^{2}}$，其中 $I$ 是导线中的电流，$R$ 是导线的半径，${\mu }_{0}$ 是真空磁导率。
步骤 2：计算磁通量
磁通量 $\phi$ 是磁感应强度 $B$ 在给定面积上的积分。由于磁感应强度在导线内部是径向对称的，因此我们可以通过积分来计算通过导线内部的平面 $S$ 的磁通量。平面 $S$ 是一个平行于导线轴线的细带区域，其面积元为 $dS=ldr$，其中 $l$ 是导线的长度，$r$ 是距离导线中心轴线的距离。因此，磁通量 $\phi$ 可以表示为 $\phi=\int B\cdot dS=\int_{0}^{R} \dfrac{{\mu }_{0}Ir}{2\pi {R}^{2}}ldr$。
步骤 3：计算积分
将磁感应强度 $B$ 的表达式代入磁通量 $\phi$ 的积分表达式中，得到 $\phi=\int_{0}^{R} \dfrac{{\mu }_{0}Ir}{2\pi {R}^{2}}ldr=\dfrac{{\mu }_{0}Il}{2\pi {R}^{2}}\int_{0}^{R} rdr=\dfrac{{\mu }_{0}Il}{2\pi {R}^{2}}\cdot \dfrac{R^{2}}{2}=\dfrac{{\mu }_{0}Il}{4\pi }$。将 $I=10A$，$l=1m$，${\mu }_{0}=4\pi \times {10}^{-7}T\cdot m/A$ 代入上式，得到 $\phi=\dfrac{4\pi \times {10}^{-7}T\cdot m/A\times 10A\times 1m}{4\pi }=1.0\times {10}^{-6}Wb$。