3.设f(x)在x_(0)处可导，且lim_(hto0)(f(x_(0)+2h)-f(x_(0)-h))/(h)=3，则f'(x_(0))=A. 3B. 2C. 1D. 0

本题考查导数的定义，解题的关键在于通过对所给极限式子进行进行变形，使其与导数的定义式建立联系。

导数的定义为：函数$y = = f(x)$在$x = x_0$处的导数$f^\prime(x_0)=\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$。

下面对$\lim\limits_{h\to0}\frac{f(x_{0}+2h)-f(x_{0}-h)}$进行变形：

• 首先将$f(x_{0}+}+2h)-f(x_{0}-h)$构造成与导数定义式相关的形式，可写成$[f(x_{0}+2h)-f(x_{0})]+[f(x_{0})-f(x_{0}-h)]$。
• 那么$\lim\limits_{h\to0}\frac{f(x_{0}+2h)-f(x_{0}-h)}{h}=\lim_{h\to0}\frac{f(x_{0}+2h)-f(x_{0})+f(x_{0})-f(x_{0}-h)}$
  根据极限的极限运算法则，可将上式拆分为两个极限的和，即$\lim_{h\to0}\frac{f(x_{0}+2h)-f(x_{0})}{h}+\lim_{h\to0}\frac{f(x_{0})-f(x_{0}-h)}{h}$。
• 对于$\lim_{h\to0}\frac{f(x_{0}+2h)-f(x_{0})}{h}$，令$\Delta x = 2h$，当$h\to0$时，$\Delta x\to0$，则$\lim_{h\to0}\frac{f(x_{0}+2h)-f(x_{0})}{h}=\lim_{\Delta x\to0}\frac{f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})}{\frac{\Delta x}{2}} = 2\lim_{\Delta x\to0}\frac{f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})}{\Delta x}=2f^\prime(x_{0})$。
• 对于$\lim_{h\to0}\frac{f(x_{0})-f(x_{0}-h}$，令$\Delta x = -h$，当$h\to0$时，$\Delta x\to0$，则$\lim_{h\to0}\frac{f(x_{0})-f(x_{0}-h)}{h}=\lim_{\Delta x\to0}\frac{f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})}{\Delta x}=f^\prime(x_{0})$。
• 所以$\lim_{h\to0}\frac{f(x_{0}+2h)-f(x_{0}-h)}{h}=2f^\prime(x_{0})+f^\prime(x_{0}) = 3f^\prime(x_{0})$。
• 已知$\lim_{h\to0}\frac{f(x_{0}+2h)-f(x_{0}-h)}{h}=3$，即$3f^\prime(x_{0}) = 3$，解得$f^\prime(x_{0}) = 1$。