题目
已知函数f（x）=cosx•sin（(x+(π)/(3))）-sqrt(3)(cos^2)x+((sqrt(3)))/(4)．（1）求f（x）的单调递增区间；（2）求f（x）在[(-(π)/(4)，(π)/(4))]上的值域．
已知函数$f（x）=cosx•sin（{x+\frac{π}{3}}）-\sqrt{3}{cos^2}x+\frac{{\sqrt{3}}}{4}$．
（1）求f（x）的单调递增区间；
（2）求f（x）在$[{-\frac{π}{4}，\frac{π}{4}}]$上的值域．
（1）求f（x）的单调递增区间；
（2）求f（x）在$[{-\frac{π}{4}，\frac{π}{4}}]$上的值域．
题目解答
答案
解：（1）$f（x）=cosxsin（{x+\frac{π}{3}}）-\sqrt{3}{cos^2}x+\frac{{\sqrt{3}}}{4}$=$\frac{1}{2}cosxsinx+\frac{{\sqrt{3}}}{2}{cos^2}x-\sqrt{3}{cos^2}x+\frac{{\sqrt{3}}}{4}=\frac{1}{2}cosxsinx-\frac{{\sqrt{3}}}{2}{cos^2}x+\frac{{\sqrt{3}}}{4}$=$\frac{1}{4}sin2x-\frac{{\sqrt{3}}}{4}（{1+cos2x}）+\frac{{\sqrt{3}}}{4}=\frac{1}{4}sin2x-\frac{{\sqrt{3}}}{4}cos2x=\frac{1}{2}sin（{2x-\frac{π}{3}}）$
由$2kπ-\frac{π}{2}≤2x-\frac{π}{3}≤\frac{π}{2}+2kπ$，k∈Z，
解得$kπ-\frac{π}{{12}}≤x≤\frac{{5π}}{{12}}+kπ$，
故函数的单调递增区间为$[{kπ-\frac{π}{{12}}，\frac{{5π}}{{12}}+kπ}]$，k∈Z．
（2）由$x∈[{-\frac{π}{4}，\frac{π}{4}}]$，有$（{2x-\frac{π}{3}}）∈[{-\frac{{5π}}{6}，\frac{π}{6}}]$，
结合正弦函数图象，有$f（x）∈[{-\frac{1}{2}，\frac{1}{4}}]$．
故函数的值域[-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{4}$]．
由$2kπ-\frac{π}{2}≤2x-\frac{π}{3}≤\frac{π}{2}+2kπ$，k∈Z，
解得$kπ-\frac{π}{{12}}≤x≤\frac{{5π}}{{12}}+kπ$，
故函数的单调递增区间为$[{kπ-\frac{π}{{12}}，\frac{{5π}}{{12}}+kπ}]$，k∈Z．
（2）由$x∈[{-\frac{π}{4}，\frac{π}{4}}]$，有$（{2x-\frac{π}{3}}）∈[{-\frac{{5π}}{6}，\frac{π}{6}}]$，
结合正弦函数图象，有$f（x）∈[{-\frac{1}{2}，\frac{1}{4}}]$．
故函数的值域[-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{4}$]．
解析
步骤 1：化简函数$f(x)$
首先，我们化简给定的函数$f(x)$。利用三角函数的和差化积公式和二倍角公式，可以将$f(x)$化简为一个更简单的形式。
$f(x) = cosxsin(x+\frac{π}{3})-\sqrt{3}cos^2x+\frac{\sqrt{3}}{4}$
$= \frac{1}{2}cosxsinx+\frac{\sqrt{3}}{2}cos^2x-\sqrt{3}cos^2x+\frac{\sqrt{3}}{4}$
$= \frac{1}{2}cosxsinx-\frac{\sqrt{3}}{2}cos^2x+\frac{\sqrt{3}}{4}$
$= \frac{1}{4}sin2x-\frac{\sqrt{3}}{4}cos2x$
$= \frac{1}{2}sin(2x-\frac{π}{3})$
步骤 2：求单调递增区间
根据$f(x) = \frac{1}{2}sin(2x-\frac{π}{3})$，我们求出其单调递增区间。正弦函数的单调递增区间为$2kπ-\frac{π}{2}≤2x-\frac{π}{3}≤\frac{π}{2}+2kπ$，k∈Z。
解得$kπ-\frac{π}{12}≤x≤\frac{5π}{12}+kπ$，k∈Z。
步骤 3：求值域
对于$x∈[-\frac{π}{4}，\frac{π}{4}]$，我们求出$2x-\frac{π}{3}$的取值范围，进而求出$f(x)$的值域。
$2x-\frac{π}{3}∈[-\frac{5π}{6}，\frac{π}{6}]$，结合正弦函数的图像，可以得出$f(x)∈[-\frac{1}{2}，\frac{1}{4}]$。
首先，我们化简给定的函数$f(x)$。利用三角函数的和差化积公式和二倍角公式，可以将$f(x)$化简为一个更简单的形式。
$f(x) = cosxsin(x+\frac{π}{3})-\sqrt{3}cos^2x+\frac{\sqrt{3}}{4}$
$= \frac{1}{2}cosxsinx+\frac{\sqrt{3}}{2}cos^2x-\sqrt{3}cos^2x+\frac{\sqrt{3}}{4}$
$= \frac{1}{2}cosxsinx-\frac{\sqrt{3}}{2}cos^2x+\frac{\sqrt{3}}{4}$
$= \frac{1}{4}sin2x-\frac{\sqrt{3}}{4}cos2x$
$= \frac{1}{2}sin(2x-\frac{π}{3})$
步骤 2：求单调递增区间
根据$f(x) = \frac{1}{2}sin(2x-\frac{π}{3})$，我们求出其单调递增区间。正弦函数的单调递增区间为$2kπ-\frac{π}{2}≤2x-\frac{π}{3}≤\frac{π}{2}+2kπ$，k∈Z。
解得$kπ-\frac{π}{12}≤x≤\frac{5π}{12}+kπ$，k∈Z。
步骤 3：求值域
对于$x∈[-\frac{π}{4}，\frac{π}{4}]$，我们求出$2x-\frac{π}{3}$的取值范围，进而求出$f(x)$的值域。
$2x-\frac{π}{3}∈[-\frac{5π}{6}，\frac{π}{6}]$，结合正弦函数的图像，可以得出$f(x)∈[-\frac{1}{2}，\frac{1}{4}]$。