题目

设n维向量α1,α2,α3满足2α1一α2+3α3=0,对于任意的n维向量β,向量组l1β+α1,l2β+α2,l3β+α3都线性相关,则参数l1,l2,l3应满足关系_______.

题目解答

答案

正确答案:2l1一l2+3l3=0解析:因l1β+α1,l2β+α2,l3β+α3线性相关,存在不全为零的k1,k2,k3,使得 k1(l1β+α1)+k2(l2β+α2)+k3(l3β+α3)=0,即 (k1l1+k2l2+k3l3)β+k1α1+k2α2+k3α3=0. 因β是任意向量,α1,α2,α3满足2α1一α2+3α3=0,故令2l1一l2+333=0时上式成立,故l1,l2,l3应满足2l1—l2+3l3=0. 知识模块:线性代数

解析

步骤 1：线性相关性定义
向量组线性相关意味着存在不全为零的系数，使得这些向量的线性组合为零向量。
步骤 2：构造线性组合
对于向量组l1β+α1,l2β+α2,l3β+α3，存在不全为零的k1,k2,k3，使得k1(l1β+α1)+k2(l2β+α2)+k3(l3β+α3)=0。
步骤 3：提取β的系数
将上式展开，得到(k1l1+k2l2+k3l3)β+k1α1+k2α2+k3α3=0。由于β是任意的n维向量，因此(k1l1+k2l2+k3l3)必须为零。
步骤 4：利用已知条件
已知2α1一α2+3α3=0，因此k1α1+k2α2+k3α3=0可以写成k1(2α1一α2+3α3)=0，即2k1α1一k1α2+3k1α3=0。
步骤 5：确定l1,l2,l3的关系
为了使k1(l1β+α1)+k2(l2β+α2)+k3(l3β+α3)=0成立，必须有2l1一l2+3l3=0。