一地质学家为研究密歇根湖湖滩地区的岩石成分，随机地自该地区取100个样品，每个样品有10块石子，记录了每个样品中属石灰石的石子数。假设这100次观察相互独立，并且由过去经验知，它们都服从参数为m=10，p的二项分布，p是这地区一块石子是石灰石的概率。求p的最大似然估计值。该地质学家所得的数据如下：样品中属于石灰石的石子数i：0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10观察到i块石灰石的样品个数：0 1 6 7 23 26 21 12 3 1 0

步骤 1：理解问题背景
地质学家从密歇根湖湖滩地区随机取100个样品，每个样品有10块石子。每个样品中属石灰石的石子数服从参数为m=10，p的二项分布，其中p是该地区一块石子是石灰石的概率。我们需要求出p的最大似然估计值。

步骤 2：计算样本均值
根据题目给出的数据，计算每个样品中属石灰石的石子数的样本均值$\overline{X}$。样本均值$\overline{X}$的计算公式为：
$$\overline{X} = \frac{\sum_{i=0}^{10} i \cdot f_i}{\sum_{i=0}^{10} f_i}$$
其中，$f_i$是观察到i块石灰石的样品个数。根据题目给出的数据，计算$\overline{X}$：
$$\overline{X} = \frac{0 \cdot 0 + 1 \cdot 1 + 2 \cdot 6 + 3 \cdot 7 + 4 \cdot 23 + 5 \cdot 26 + 6 \cdot 21 + 7 \cdot 12 + 8 \cdot 3 + 9 \cdot 1 + 10 \cdot 0}{0 + 1 + 6 + 7 + 23 + 26 + 21 + 12 + 3 + 1 + 0}$$
$$\overline{X} = \frac{0 + 1 + 12 + 21 + 92 + 130 + 126 + 84 + 24 + 9 + 0}{100}$$
$$\overline{X} = \frac{499}{100}$$
$$\overline{X} = 4.99$$

步骤 3：计算p的最大似然估计值
根据二项分布的性质，p的最大似然估计值为：
$$\hat{p} = \frac{\overline{X}}{m}$$
其中，m是每个样品中石子的总数，即10。将$\overline{X}$的值代入公式，计算$\hat{p}$：
$$\hat{p} = \frac{4.99}{10}$$
$$\hat{p} = 0.499$$