题目

对场的梯度,散度,下叙述正确的是:A.矢量场的旋度的梯度一定等于零。B.如果非零矢量场的散度等于零,则其旋度一定不能等于零。C.非零矢量场的散度和旋度可以同时不等于零。D.标量场的梯度的旋度一定等于零。

对场的梯度,散度,下叙述正确的是:

A.矢量场的旋度的梯度一定等于零。

B.如果非零矢量场的散度等于零,则其旋度一定不能等于零。

C.非零矢量场的散度和旋度可以同时不等于零。

D.标量场的梯度的旋度一定等于零。

题目解答

答案

对于矢量场的梯度、散度和旋度的描述，正确的选项是：

D. 标量场的梯度的旋度一定等于零。

下面是对每个选项的详细解释：

A. 矢量场的旋度的梯度一定等于零。

这个说法是错误的。旋度的梯度并不总是零。实际上，旋度的梯度是一个矢量场，它的散度是零，但不一定是梯度场。旋度的梯度表示为： $(\nabla\times(\nabla\times\mathbf{F}))，可$ 以展开为 $(\nabla(\nabla\cdot\mathbf{F})-\nabla^2\mathbf{F})$ ，其中 $(\nabla(\nabla\cdot\mathbf{F}))和(\nabla^2\mathbf{F})并$ 不一定为零。

B. 如果非零矢量场的散度等于零，则其旋度一定不能等于零。

这个说法是错误的。一个非零矢量场的散度等于零并不意味着其旋度不能等于零。例如，在一个无源流体中，散度为零的矢量场可以是一个无旋度的场。

C. 非零矢量场的散度和旋度可以同时不等于零。

这个说法是正确的。散度和旋度是独立的特性，一个矢量场的散度和旋度可以同时不等于零。例如，电磁场中的某些情况可能会导致散度和旋度同时不为零。

D. 标量场的梯度的旋度一定等于零。

这个说法是正确的。标量场 $(\phi)的梯度(\nabla\phi)$ 是一个矢量场，而梯度场的旋度 $(\nabla\times(\nabla\phi))$ 总是零。这是因为梯度场的旋度定义上总是零，可以通过数学推导验证这个结果 $：(\nabla\times(\nabla\phi)=0)。$

解析

本题考查矢量场的梯度、散度、旋度的基本性质及其相互关系。核心思路在于理解以下关键点：

标量场的梯度形成的矢量场，其旋度一定为零（数学恒等式）。
矢量场的散度和旋度是独立性质，两者可以同时非零。
旋度的梯度不为零，但其散度为零。
散度为零的矢量场可能有旋度，也可能无旋度。

选项A：矢量场的旋度的梯度一定等于零。

错误。旋度的梯度是一个矢量场，其表达式为 $\nabla (\nabla \times \mathbf{A})$，一般不为零。例如，在电磁场中，磁场的旋度与电流相关，其梯度可能非零。

选项B：如果非零矢量场的散度等于零，则其旋度一定不能等于零。

错误。散度为零的矢量场可以同时无旋。例如，静电力场在无电荷区域满足 $\nabla \cdot \mathbf{E} = 0$ 且 $\nabla \times \mathbf{E} = 0$。

选项C：非零矢量场的散度和旋度可以同时不等于零。

正确。散度和旋度是独立性质。例如，变化的磁场产生的电场 $\mathbf{E}$ 可能有 $\nabla \cdot \mathbf{E} \neq 0$（因位移电流）和 $\nabla \times \mathbf{E} \neq 0$（因法拉第电磁感应）。

选项D：标量场的梯度的旋度一定等于零。

正确。根据矢量微积分恒等式，$\nabla \times (\nabla \phi) = \mathbf{0}$，标量场的梯度是无旋场。