题目
[题目]-|||-如图所示,一角频率为w,振幅为A的平面简谐波沿x轴正-|||-方向传播,设在 t=0 时该波在原点O处引起的振动使媒质-|||-元由平衡位置向y轴的负方向运动.M是垂直于x轴的波密-|||-媒质反射面.已知 '=dfrac (7lambda )(4) '=dfrac (1)(4) (λ为该波波长).-|||-设反射波不衰减,求:-|||-y M-|||-O`-|||-O P x-|||-(1)入射波与反射波的表达式.-|||-(2)P点的振动方程.
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定入射波的表达式
由于在 t=0 时，波在原点O处引起的振动使媒质元由平衡位置向y轴的负方向运动，因此入射波的初始相位为 $\dfrac{\pi}{2}$。入射波沿x轴正方向传播，因此其表达式为：
$$y(x,t)=A\cos(\omega t-\dfrac{2\pi x}{\lambda}+\dfrac{\pi}{2})$$
步骤 2：确定反射波的表达式
反射波在波密媒质反射面M处发生反射，由于反射面为波密媒质，因此反射波的相位相对于入射波的相位变化了 $\pi$。反射波沿x轴负方向传播，因此其表达式为：
$$y_{UND}(x,t)=A\cos(\omega t-\dfrac{2\pi x}{\lambda}-\dfrac{\pi}{2})$$
步骤 3：确定P点的振动方程
P点的振动方程为入射波和反射波在P点的合成振动。由于 $PO'=\dfrac{\lambda}{4}$，因此P点的振动方程为：
$$y_{P}(t)=y(x,t)+y_{UND}(x,t)$$
$$=A\cos(\omega t-\dfrac{2\pi x}{\lambda}+\dfrac{\pi}{2})+A\cos(\omega t-\dfrac{2\pi x}{\lambda}-\dfrac{\pi}{2})$$
$$=A\cos(\omega t-\dfrac{2\pi x}{\lambda}+\dfrac{\pi}{2})-A\cos(\omega t-\dfrac{2\pi x}{\lambda}+\dfrac{\pi}{2})$$
$$=0$$
由于在 t=0 时，波在原点O处引起的振动使媒质元由平衡位置向y轴的负方向运动，因此入射波的初始相位为 $\dfrac{\pi}{2}$。入射波沿x轴正方向传播，因此其表达式为：
$$y(x,t)=A\cos(\omega t-\dfrac{2\pi x}{\lambda}+\dfrac{\pi}{2})$$
步骤 2：确定反射波的表达式
反射波在波密媒质反射面M处发生反射，由于反射面为波密媒质，因此反射波的相位相对于入射波的相位变化了 $\pi$。反射波沿x轴负方向传播，因此其表达式为：
$$y_{UND}(x,t)=A\cos(\omega t-\dfrac{2\pi x}{\lambda}-\dfrac{\pi}{2})$$
步骤 3：确定P点的振动方程
P点的振动方程为入射波和反射波在P点的合成振动。由于 $PO'=\dfrac{\lambda}{4}$，因此P点的振动方程为：
$$y_{P}(t)=y(x,t)+y_{UND}(x,t)$$
$$=A\cos(\omega t-\dfrac{2\pi x}{\lambda}+\dfrac{\pi}{2})+A\cos(\omega t-\dfrac{2\pi x}{\lambda}-\dfrac{\pi}{2})$$
$$=A\cos(\omega t-\dfrac{2\pi x}{\lambda}+\dfrac{\pi}{2})-A\cos(\omega t-\dfrac{2\pi x}{\lambda}+\dfrac{\pi}{2})$$
$$=0$$