题目
x-|||-90000000000:如图所示，轻质弹簧一端固定，静放在斜面上，质量为m的物块A从弹簧的自由端处由静止释放，沿斜面向下运动，然后返回一段距离后静止，已知斜面的倾角为θ，物块A与斜面间的动摩擦因数为μ，弹簧最大压缩量为x，重力加速度为g，则（ ）A. 物块A向下运动到(x)/(2)处加速度最大B. 物块A向上运动到(x)/(2)处动能最大C. 弹簧最大弹性势能大于2μmgxcosθD. 系统损失的机械能大于(2)/(3)mgxsinθ
如图所示，轻质弹簧一端固定，静放在斜面上，质量为m的物块A从弹簧的自由端处由静止释放，沿斜面向下运动，然后返回一段距离后静止，已知斜面的倾角为θ，物块A与斜面间的动摩擦因数为μ，弹簧最大压缩量为x，重力加速度为g，则（ ）- A. 物块A向下运动到$\frac{x}{2}$处加速度最大
- B. 物块A向上运动到$\frac{x}{2}$处动能最大
- C. 弹簧最大弹性势能大于2μmgxcosθ
- D. 系统损失的机械能大于$\frac{2}{3}$mgxsinθ
题目解答
答案
C. 弹簧最大弹性势能大于2μmgxcosθ
解析
步骤 1：分析物块A向下运动时的加速度变化
物块A向下运动时，受到弹簧的弹力逐渐增大，而重力和摩擦力不变。开始时，加速度沿斜面向下：$mgsinθ-f-F=ma$，其中$F$为弹簧的弹力。随着$F$增大，加速度减小。当加速度为0，速度最大，然后做减速运动，加速度沿斜面向上，$f+F-mgsinθ=ma$，$F$增大，加速度增大。因此，物块A向下运动到$\frac{x}{2}$处加速度不是最大。
步骤 2：分析物块A向上运动时动能最大位置
物块A到最低点时，根据能量守恒有：${E_{pm}}=\frac{1}{2}k{x^2}=mgxsinθ-μmgxcosθ$，解得：$k=\frac{{2（mgsinθ-μmgcosθ）}}{x}$。加速度为零时速度最大，动能最大，设物块A向上运动$x_1$动能最大，此时则有：$k（x-x_1）=mgsinθ+μmgcosθ$，解得：${x_1}=x-\frac{{mgsinθ+μmgcosθ}}{{mgsinθ-μmgcosθ}}⋅\frac{x}{2}＜\frac{x}{2}$。
步骤 3：分析弹簧最大弹性势能
物块A向上运动到动能最大时，根据能量守恒有：$mg（x-x_1）sinθ＞μmg（x+x_1）cosθ$，又${x_1}＜\frac{x}{2}$，可得：$mgsinθ＞3μmgcosθ$。弹簧最大弹性势能：$E_pm=mgxsinθ-μmgxcosθ＞2μmgxcosθ$。
步骤 4：分析系统损失的机械能
设物块A向上运动$x_2$到停止，则有：$E_pm=mgx_2sinθ+μmgx_2cosθ$，又${E_{pm}}=\frac{1}{2}k{x^2}=mgxsinθ-μmgxcosθ$，解得${x_2}=\frac{{mgsinθ-μmgcosθ}}{{mgsinθ+μmgcosθ}}x＜x$。整个过程系统损失的机械能：$ΔE=μmg（x+x_2）cosθ＜2μmgxcosθ$，又$mgsinθ＞3μmgcosθ$，所以$ΔE＜\frac{2}{3}mgxsinθ$。
物块A向下运动时，受到弹簧的弹力逐渐增大，而重力和摩擦力不变。开始时，加速度沿斜面向下：$mgsinθ-f-F=ma$，其中$F$为弹簧的弹力。随着$F$增大，加速度减小。当加速度为0，速度最大，然后做减速运动，加速度沿斜面向上，$f+F-mgsinθ=ma$，$F$增大，加速度增大。因此，物块A向下运动到$\frac{x}{2}$处加速度不是最大。
步骤 2：分析物块A向上运动时动能最大位置
物块A到最低点时，根据能量守恒有：${E_{pm}}=\frac{1}{2}k{x^2}=mgxsinθ-μmgxcosθ$，解得：$k=\frac{{2（mgsinθ-μmgcosθ）}}{x}$。加速度为零时速度最大，动能最大，设物块A向上运动$x_1$动能最大，此时则有：$k（x-x_1）=mgsinθ+μmgcosθ$，解得：${x_1}=x-\frac{{mgsinθ+μmgcosθ}}{{mgsinθ-μmgcosθ}}⋅\frac{x}{2}＜\frac{x}{2}$。
步骤 3：分析弹簧最大弹性势能
物块A向上运动到动能最大时，根据能量守恒有：$mg（x-x_1）sinθ＞μmg（x+x_1）cosθ$，又${x_1}＜\frac{x}{2}$，可得：$mgsinθ＞3μmgcosθ$。弹簧最大弹性势能：$E_pm=mgxsinθ-μmgxcosθ＞2μmgxcosθ$。
步骤 4：分析系统损失的机械能
设物块A向上运动$x_2$到停止，则有：$E_pm=mgx_2sinθ+μmgx_2cosθ$，又${E_{pm}}=\frac{1}{2}k{x^2}=mgxsinθ-μmgxcosθ$，解得${x_2}=\frac{{mgsinθ-μmgcosθ}}{{mgsinθ+μmgcosθ}}x＜x$。整个过程系统损失的机械能：$ΔE=μmg（x+x_2）cosθ＜2μmgxcosθ$，又$mgsinθ＞3μmgcosθ$，所以$ΔE＜\frac{2}{3}mgxsinθ$。