x A图示雷达在距离火箭发射台为l的O处观察铅垂上升的火箭发射，测得角θ的规律为θ=kt(k为常数)．写出火箭的运动方程，并计算当θ=(π)/(6)和(π)/(3)时火箭的速度和加速度．

考查要点：本题主要考查利用三角函数建立运动方程，以及通过求导计算速度和加速度的能力。关键在于正确建立直角三角形模型，将角度θ与火箭高度y关联，并熟练应用三角函数的导数公式。

解题思路：

1. 几何建模：根据题意，雷达与发射台距离为$l$，火箭垂直上升形成直角三角形，利用$\tan\theta = \frac{y}{l}$建立运动方程。
2. 求导运算：对运动方程依次求一阶导数（速度）和二阶导数（加速度），需注意链式法则和三角函数导数公式的应用。
3. 代入计算：将$\theta = \frac{\pi}{6}$和$\frac{\pi}{3}$代入导数表达式，结合三角函数值计算具体结果。

建立运动方程

根据几何关系，$\tan\theta = \frac{y}{l}$，代入$\theta = kt$得：
$y = l \tan(kt)$

求速度和加速度

1. 速度（一阶导数）：
   $\dot{y} = \frac{d}{dt} \left[ l \tan(kt) \right] = l \cdot k \sec^2(kt)$
2. 加速度（二阶导数）：
   $\ddot{y} = \frac{d}{dt} \left[ lk \sec^2(kt) \right] = lk \cdot 2k \sec^2(kt) \tan(kt) = 2lk^2 \sec^2(kt) \tan(kt)$

代入具体角度计算

当$\theta = \frac{\pi}{6}$时

• 三角函数值：
  $\tan\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{\sqrt{3}}, \quad \sec\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{2}{\sqrt{3}}$
• 速度：
  $\dot{y} = lk \left( \frac{2}{\sqrt{3}} \right)^2 = \frac{4}{3}lk$
• 加速度：
  $\ddot{y} = 2lk^2 \left( \frac{2}{\sqrt{3}} \right)^2 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{8\sqrt{3}}{9}lk^2$

当$\theta = \frac{\pi}{3}$时

• 三角函数值：
  $\tan\left(\frac{\pi}{3}\right) = \sqrt{3}, \quad \sec\left(\frac{\pi}{3}\right) = 2$
• 速度：
  $\dot{y} = lk \cdot 2^2 = 4lk$
• 加速度：
  $\ddot{y} = 2lk^2 \cdot 2^2 \cdot \sqrt{3} = 8\sqrt{3}lk^2$