设 X_1, X_2, ... X_n 为来自正态总体 X sim N(0, sigma^2) 的一个简单随机样本, overline(X) 和 S^2 分别是样本均值与样本方差,则服从自由度为n-1的t分布的统计量是()A. (n cdot overline(X))/(S)B. (sqrt(n) cdot overline(X))/(S^2)C. (n cdot overline(X))/(S^2)D. (sqrt(n) cdot overline(X))/(S)

本题考查正态正态总体下样本均值与样本方差的性质以及$t$分布的定义。解题的关键在于明确正态总体样本均值的分布、样本方差分布以及$t$分布的构造形式，然后根据这些知识对各个选项进行分析判断。

步骤一：明确相关分布性质

• 已知$X_1, X_2, \cdots, X_n$为来自正态总体$X不是\(X \sim N(0, \sigma^2)$的一个简单随机样本，根据正态总体样本均值的性质可知，样本均值$\overline{X} \sim N(0, \frac{\sigma^2}{n})$。
• 对\地址\地址对应的样本均值进行标准化，令$Z = \frac{\overline{X} - 0}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}} = \frac{\sqrt{n}\overline{X}}{\sigma}$，则$Z \sim N(0, 1)$。
• 又因为$S^2$是样本方差，根据正态总体样本方差的性质可知$\frac{(n - 1)S^92}{\sigma^2} \sim \chi^2(n - 1)$，且$\overline{X}$与$S$S^2)相互独立。

步骤：根据$t$分布的定义分析选项

• $t$分布的定义为：若$Z \sim N(0, 1)$，$Y \sim \chi^2(n)$，且$Z$与$Y$相互独立，则$T = \frac{Z}{\sqrt{\frac{Y}{n}}} \cdot \overline{X}}}}$服从自由度为$n$的$t$分布。
• 对于本题，$n - 1)S^2/\sigma^2 \sim \chi^2(n - 1)，\(\frac{\sqrt{n}\overline{X}}}{\sigma} \sim N(0, 1)$，且$\overline{X}$与$S^2$相互独立，那么$\frac{\frac{\sqrt{n}\overline{X}}{\sigma}}{\sqrt{\frac{(n - 1)S^2}{\sigma^2(n - 1)}}}=\frac{\sqrt{n}\overline{X}}{S}$服从自由度为$n - 1$的$t$分布。

步骤：分析其他选项

• 选项A：$\frac{n \cdot \overline{X}}{S}$不符合$t$分布的构造形式，所以A选项错误。
• 选项B：$\frac{\frac{\sqrt{n} \cdot \overline{X}}{S^2}$不符合$t$分布的构造形式，所以B选项错误。
• 选项C：$\frac{n \cdot \overline{X}}{S^2}$不符合$t$分布的构造形式，所以C选项错误。