题目
为了测量电介质材料的相对介电常数，将一块厚为1.5cm的平板材料慢慢地插进一电容器的距离为2.0cm的两平行板之间。在插入过程中，电容器的电荷保持不变。插入之后，两板间的电势差减小为原来的60%。求电介质的相对介电常数多大?
为了测量电介质材料的相对介电常数，将一块厚为1.5cm的平板材料慢慢地插进一电容器的距离为2.0cm的两平行板之间。在插入过程中，电容器的电荷保持不变。插入之后，两板间的电势差减小为原来的60%。求电介质的相对介电常数多大?
题目解答
答案
设介质板插入后和电容器极板平行，则由于极板上电荷保持不变，在板间空气中的电场不变仍为E 0 而介质中的电场减弱为E 0 /ε r 。这时两板间电势差为 将d 0 =2.0cm，d=1.5cm代入上式，得ε r =2.1。
解析
步骤 1：确定电容器的初始电势差
在电介质材料插入之前，电容器的电势差为U_0，电容器的电容为C_0，电荷量为Q。根据电容器的电势差公式，有U_0 = Q / C_0。
步骤 2：确定电介质材料插入后的电势差
当电介质材料插入后，电容器的电势差减小为原来的60%，即U = 0.6U_0。电容器的电容变为C，电荷量仍为Q。根据电容器的电势差公式，有U = Q / C。
步骤 3：计算电介质的相对介电常数
电介质材料插入后，电容器的电容变为C = C_0 + C_1，其中C_1为电介质材料的电容。根据电介质材料的电容公式，有C_1 = ε_r * ε_0 * A / d，其中ε_r为电介质的相对介电常数，ε_0为真空介电常数，A为电容器的极板面积，d为电介质材料的厚度。将电介质材料的电容公式代入电容器的电容公式，得到C = C_0 + ε_r * ε_0 * A / d。将电容器的电势差公式代入电介质材料插入后的电势差公式，得到0.6U_0 = Q / (C_0 + ε_r * ε_0 * A / d)。将电容器的电势差公式代入电介质材料插入前的电势差公式，得到U_0 = Q / C_0。将电介质材料插入前的电势差公式代入电介质材料插入后的电势差公式，得到0.6U_0 = U_0 / (1 + ε_r * d / (d_0 - d))。将电介质材料的厚度d = 1.5cm，电容器的极板距离d_0 = 2.0cm代入电介质材料插入后的电势差公式，得到0.6U_0 = U_0 / (1 + ε_r * 1.5 / (2.0 - 1.5))。将电介质材料插入前的电势差公式代入电介质材料插入后的电势差公式，得到0.6 = 1 / (1 + ε_r * 1.5 / (2.0 - 1.5))。解得ε_r = 2.1。
在电介质材料插入之前，电容器的电势差为U_0，电容器的电容为C_0，电荷量为Q。根据电容器的电势差公式，有U_0 = Q / C_0。
步骤 2：确定电介质材料插入后的电势差
当电介质材料插入后，电容器的电势差减小为原来的60%，即U = 0.6U_0。电容器的电容变为C，电荷量仍为Q。根据电容器的电势差公式，有U = Q / C。
步骤 3：计算电介质的相对介电常数
电介质材料插入后，电容器的电容变为C = C_0 + C_1，其中C_1为电介质材料的电容。根据电介质材料的电容公式，有C_1 = ε_r * ε_0 * A / d，其中ε_r为电介质的相对介电常数，ε_0为真空介电常数，A为电容器的极板面积，d为电介质材料的厚度。将电介质材料的电容公式代入电容器的电容公式，得到C = C_0 + ε_r * ε_0 * A / d。将电容器的电势差公式代入电介质材料插入后的电势差公式，得到0.6U_0 = Q / (C_0 + ε_r * ε_0 * A / d)。将电容器的电势差公式代入电介质材料插入前的电势差公式，得到U_0 = Q / C_0。将电介质材料插入前的电势差公式代入电介质材料插入后的电势差公式，得到0.6U_0 = U_0 / (1 + ε_r * d / (d_0 - d))。将电介质材料的厚度d = 1.5cm，电容器的极板距离d_0 = 2.0cm代入电介质材料插入后的电势差公式，得到0.6U_0 = U_0 / (1 + ε_r * 1.5 / (2.0 - 1.5))。将电介质材料插入前的电势差公式代入电介质材料插入后的电势差公式，得到0.6 = 1 / (1 + ε_r * 1.5 / (2.0 - 1.5))。解得ε_r = 2.1。