1. 假想从无限远处陆续移来微量电荷使一半径为 R 的导体球带电．(1)当球上已带有电荷 q 时，再将一个电荷元 dq 从无限远处移到球上的过程中，外力作多少功?(2)使球上电荷从零开始增加到 Q 的过程中，外力共作多少功?

考查要点：本题主要考查电势能的计算和变电荷系统中外力做功的积分方法。
解题核心思路：

1. 电势的定义：导体球的电势由其电荷量决定，公式为 $U = \frac{q}{4\pi \varepsilon_0 R}$。
2. 微分功的计算：将电荷元 $dq$ 移到球上时，外力做的微分功为 $dW = U \cdot dq$。
3. 积分求总功：总功需对 $q$ 从 $0$ 到 $Q$ 积分，注意积分过程中 $U$ 随 $q$ 变化。

破题关键点：

• 明确电势是电荷量的函数，每次移动电荷元时，球的电荷量为当前值 $q$。
• 积分时正确处理变量关系，避免混淆积分上下限。

第（1）题

关键步骤：

1. 确定电势：当球带电 $q$ 时，其电势为
   $U = \frac{q}{4\pi \varepsilon_0 R}.$
2. 计算微分功：将电荷元 $dq$ 移到球上时，外力做的功为
   $dW = U \cdot dq = \frac{q}{4\pi \varepsilon_0 R} dq.$

第（2）题

关键步骤：

1. 积分表达式：总功需对 $q$ 从 $0$ 到 $Q$ 积分：
   $W = \int_{0}^{Q} \frac{q}{4\pi \varepsilon_0 R} dq.$
2. 计算积分：
   $W = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0 R} \cdot \frac{Q^2}{2} = \frac{Q^2}{8\pi \varepsilon_0 R}.$