题目
4、单选 设闭区域D由直线x=0，y=π，y=x围成，则 iintlimits_(D) cos(x+y)dxdy=（）.A. -1B. -2C. 2D. 1
4、单选 设闭区域D由直线x=0，y=π，y=x围成，则 $\iint\limits_{D} \cos(x+y)dxdy$=（）.
A. -1
B. -2
C. 2
D. 1
题目解答
答案
B. -2
解析
步骤 1：确定积分区域
区域 $D$ 由直线 $x=0$，$y=\pi$，$y=x$ 围成，可表示为： $$ D = \{(x, y) \mid 0 \le x \le y, 0 \le y \le \pi\}. $$
步骤 2：计算内积分
计算二重积分的内积分： $$ \int_{0}^{y} \cos(x+y) \, dx. $$ 令 $u = x + y$，则 $du = dx$，当 $x = 0$ 时，$u = y$；当 $x = y$ 时，$u = 2y$。因此，内积分变为： $$ \int_{y}^{2y} \cos(u) \, du = \sin(2y) - \sin(y). $$
步骤 3：计算外积分
计算二重积分的外积分： $$ \int_{0}^{\pi} (\sin(2y) - \sin(y)) \, dy. $$ 该积分可以拆分为两个积分： $$ \int_{0}^{\pi} \sin(2y) \, dy - \int_{0}^{\pi} \sin(y) \, dy. $$ 计算第一个积分： $$ \int_{0}^{\pi} \sin(2y) \, dy = \left[-\frac{1}{2}\cos(2y)\right]_{0}^{\pi} = -\frac{1}{2}(\cos(2\pi) - \cos(0)) = -\frac{1}{2}(1 - 1) = 0. $$ 计算第二个积分： $$ \int_{0}^{\pi} \sin(y) \, dy = \left[-\cos(y)\right]_{0}^{\pi} = -(\cos(\pi) - \cos(0)) = -(-1 - 1) = 2. $$ 因此，外积分的结果为： $$ 0 - 2 = -2. $$
区域 $D$ 由直线 $x=0$，$y=\pi$，$y=x$ 围成，可表示为： $$ D = \{(x, y) \mid 0 \le x \le y, 0 \le y \le \pi\}. $$
步骤 2：计算内积分
计算二重积分的内积分： $$ \int_{0}^{y} \cos(x+y) \, dx. $$ 令 $u = x + y$，则 $du = dx$，当 $x = 0$ 时，$u = y$；当 $x = y$ 时，$u = 2y$。因此，内积分变为： $$ \int_{y}^{2y} \cos(u) \, du = \sin(2y) - \sin(y). $$
步骤 3：计算外积分
计算二重积分的外积分： $$ \int_{0}^{\pi} (\sin(2y) - \sin(y)) \, dy. $$ 该积分可以拆分为两个积分： $$ \int_{0}^{\pi} \sin(2y) \, dy - \int_{0}^{\pi} \sin(y) \, dy. $$ 计算第一个积分： $$ \int_{0}^{\pi} \sin(2y) \, dy = \left[-\frac{1}{2}\cos(2y)\right]_{0}^{\pi} = -\frac{1}{2}(\cos(2\pi) - \cos(0)) = -\frac{1}{2}(1 - 1) = 0. $$ 计算第二个积分： $$ \int_{0}^{\pi} \sin(y) \, dy = \left[-\cos(y)\right]_{0}^{\pi} = -(\cos(\pi) - \cos(0)) = -(-1 - 1) = 2. $$ 因此，外积分的结果为： $$ 0 - 2 = -2. $$