晶格常数为0.25 nm的一维晶格,当外加102 V/m、107 V/m的电场时,试分别计算电子自能带底运动到能带顶所需的时间。

本题考查一维晶格中电子在外电场作用下的运动时间计算，核心在于理解电子在能带中的运动与电场力的关系。关键点包括：

1. 力与动量的关系：电子受电场力$f = qE$，同时动量$p = \hbar k$，结合两者可得$k$随时间的变化率。
2. 积分求时间：从能带底（$k=0$）到能带顶（$k=\frac{1}{2a}$）的$k$变化需积分，积分上下限需明确。
3. 物理量代换：将普朗克常数$h$与$\hbar$关联，代入已知数据计算最终时间。

步骤1：建立力与$k$变化的关系

电子受电场力$f = qE$，同时动量$p = \hbar k$，故力也可表示为：
$f = \frac{d(\hbar k)}{dt} = \hbar \frac{dk}{dt}$
联立得：
$\hbar \frac{dk}{dt} = qE \quad \Rightarrow \quad \frac{dk}{dt} = \frac{qE}{\hbar}$

步骤2：积分求总时间

电子从$k=0$运动到能带顶$k=\frac{1}{2a}$，总时间：
$t = \int_{0}^{t} dt = \int_{0}^{\frac{1}{2a}} \frac{dk}{\frac{qE}{\hbar}} = \frac{\hbar}{qE} \cdot \frac{1}{2a}$

步骤3：代入数据计算

已知$h = 2\pi\hbar$，故$\hbar = \frac{h}{2\pi}$，代入得：
$t = \frac{h}{2\pi qE} \cdot \frac{1}{2a} = \frac{h}{4\pi qE a}$
代入数值：

• $h = 6.62 \times 10^{-34} \, \text{J·s}$，$q = 1.6 \times 10^{-19} \, \text{C}$，$a = 2.5 \times 10^{-10} \, \text{m}$
• 化简得：
  $t = \frac{6.62 \times 10^{-34}}{4\pi \cdot 1.6 \times 10^{-19} \cdot 2.5 \times 10^{-10} \cdot E} \approx \frac{8.3 \times 10^{-6}}{E}$

步骤4：代入不同电场强度

• 当$E = 10^2 \, \text{V/m}$时：
  $t = \frac{8.3 \times 10^{-6}}{10^2} = 8.3 \times 10^{-8} \, \text{s}$
• 当$E = 10^7 \, \text{V/m}$时：
  $t = \frac{8.3 \times 10^{-6}}{10^7} = 8.3 \times 10^{-13} \, \text{s}$