题目
[题目]求过点 (3,0,-1) 且与平面 3x-7y+5z-12=0 平-|||-行的平面方程.
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定法线向量
由于所求平面与给定平面平行，它们的法线向量相同。给定平面的法线向量为 $\overrightarrow{n} = (3, -7, 5)$。
步骤 2：使用点法式方程
已知平面经过点 $(3, 0, -1)$，且法线向量为 $\overrightarrow{n} = (3, -7, 5)$，可以使用点法式方程来表示平面。点法式方程的一般形式为 $A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0$，其中 $(x_0, y_0, z_0)$ 是平面上的一个点，$(A, B, C)$ 是法线向量的坐标。
步骤 3：代入点和法线向量
将点 $(3, 0, -1)$ 和法线向量 $\overrightarrow{n} = (3, -7, 5)$ 代入点法式方程，得到 $3(x - 3) - 7(y - 0) + 5(z + 1) = 0$。
步骤 4：化简方程
化简方程 $3(x - 3) - 7(y - 0) + 5(z + 1) = 0$，得到 $3x - 9 - 7y + 5z + 5 = 0$，进一步化简为 $3x - 7y + 5z - 4 = 0$。
由于所求平面与给定平面平行，它们的法线向量相同。给定平面的法线向量为 $\overrightarrow{n} = (3, -7, 5)$。
步骤 2：使用点法式方程
已知平面经过点 $(3, 0, -1)$，且法线向量为 $\overrightarrow{n} = (3, -7, 5)$，可以使用点法式方程来表示平面。点法式方程的一般形式为 $A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0$，其中 $(x_0, y_0, z_0)$ 是平面上的一个点，$(A, B, C)$ 是法线向量的坐标。
步骤 3：代入点和法线向量
将点 $(3, 0, -1)$ 和法线向量 $\overrightarrow{n} = (3, -7, 5)$ 代入点法式方程，得到 $3(x - 3) - 7(y - 0) + 5(z + 1) = 0$。
步骤 4：化简方程
化简方程 $3(x - 3) - 7(y - 0) + 5(z + 1) = 0$，得到 $3x - 9 - 7y + 5z + 5 = 0$，进一步化简为 $3x - 7y + 5z - 4 = 0$。