已知粒子在无限深势阱中运动,其波函数为:(x)=sqrt (dfrac {2)(a)}sin (dfrac (npi x)(a))(0leqslant xleqslant a)求(1)当n=1时,在(x)=sqrt (dfrac {2)(a)}sin (dfrac (npi x)(a))(0leqslant xleqslant a)处粒子出现的几率密度。(2)当n=3时发现粒子几率最大的位置。(3)当n=2时,在(x)=sqrt (dfrac {2)(a)}sin (dfrac (npi x)(a))(0leqslant xleqslant a)发现粒子的几率。(x)=sqrt (dfrac {2)(a)}sin (dfrac (npi x)(a))(0leqslant xleqslant a)

考查要点：本题主要考查无限深势阱中粒子的波函数性质，包括概率密度的计算、概率极大值位置的确定以及区间概率的积分计算。

解题核心思路：

1. 概率密度：波函数的模平方即为概率密度，直接代入计算。
2. 概率极大值：对概率密度求导找临界点，结合物理意义筛选有效解。
3. 区间概率：利用给定积分公式计算定积分，注意变量替换和代数运算。

破题关键点：

• 波函数标准化：题目给出的波函数已归一化，无需额外处理。
• 极值条件：概率密度的导数为零对应驻波节点或极大值点。
• 积分技巧：利用给定的积分公式简化计算，注意三角函数恒等式应用。

第（1）题

概率密度公式：
当 $n=1$ 时，波函数为 $\varphi(x)=\sqrt{\dfrac{2}{a}}\sin\left(\dfrac{\pi x}{a}\right)$，概率密度为：
$|\varphi(x)|^2 = \dfrac{2}{a} \sin^2\left(\dfrac{\pi x}{a}\right)$
代入 $x=\dfrac{a}{2}$：
$\sin\left(\dfrac{\pi \cdot \dfrac{a}{2}}{a}\right) = \sin\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = 1$，因此：
$|\varphi(\dfrac{a}{2})|^2 = \dfrac{2}{a} \cdot 1^2 = \dfrac{2}{a}$

第（2）题

概率密度公式：
当 $n=3$ 时，概率密度为：
$|\varphi(x)|^2 = \dfrac{2}{a} \sin^2\left(\dfrac{3\pi x}{a}\right)$
求导找极值：
对概率密度求导并令导数为零：
$\dfrac{d}{dx} \left( \dfrac{2}{a} \sin^2\left(\dfrac{3\pi x}{a}\right) \right) = \dfrac{12\pi}{a^2} \sin\left(\dfrac{3\pi x}{a}\right) \cos\left(\dfrac{3\pi x}{a}\right) = 0$
化简得 $\sin(6\pi x/a) = 0$，解得：
$x = \dfrac{a}{6}, \dfrac{a}{2}, \dfrac{5a}{6}$
筛选有效解：
排除端点 $x=0$ 和 $x=a$，有效极大值点为 $x=\dfrac{a}{6}, \dfrac{a}{2}, \dfrac{5a}{6}$。

第（3）题

概率密度公式：
当 $n=2$ 时，概率密度为：
$|\varphi(x)|^2 = \dfrac{2}{a} \sin^2\left(\dfrac{2\pi x}{a}\right)$
积分计算：
利用给定积分公式 $\int \sin^2 x \, dx = \dfrac{x}{2} - \dfrac{1}{4}\sin(2x) + C$，变量替换 $k = \dfrac{2\pi x}{a}$，积分区间变为 $\dfrac{\pi}{2}$ 到 $\pi$：
$P = \int_{\dfrac{a}{4}}^{\dfrac{a}{2}} \dfrac{2}{a} \sin^2\left(\dfrac{2\pi x}{a}\right) dx = \dfrac{2}{a} \cdot \dfrac{a}{4\pi} \left[ \dfrac{a}{2} - \dfrac{a}{4} + \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{a}{4\pi} (\cos(2\pi) - \cos(\pi)) \right]$
化简得：
$P = \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{8\pi}$