题目
2-8 某单原子分子理想气体从 _(1)=298K _(1)=5(p)^theta 的初态。(a)经绝热可逆膨胀;(b)经绝热恒外-|||-压膨胀到达终态压力 _(2)=(p)^theta 。计算各途径的终态温度T2,及Q,W, △U. Delta H
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定单原子分子理想气体的热力学性质
单原子分子理想气体的摩尔定容热容 ${C}_{V,m}=\frac{3}{2}R$，摩尔定压热容 ${C}_{p,m}=\frac{5}{2}R$，其中 $R$ 是理想气体常数，$R=8.314J\cdot {mol}^{-1}\cdot {K}^{-1}$。
步骤 2：计算绝热可逆膨胀的终态温度 ${T}_{2}$
对于绝热可逆膨胀过程，有 ${T}_{1}{V}_{1}^{\gamma }={T}_{2}{V}_{2}^{\gamma }$，其中 $\gamma =\frac{{C}_{p,m}}{{C}_{V,m}}=\frac{5}{3}$。由于 ${p}_{1}{V}_{1}={nRT}_{1}$ 和 ${p}_{2}{V}_{2}={nRT}_{2}$，可以得到 ${T}_{2}={T}_{1}{\left(\frac{{p}_{2}}{{p}_{1}}\right)}^{\frac{\gamma -1}{\gamma }}$。将 ${T}_{1}=298K$，${p}_{1}=5{p}^{\theta }$，${p}_{2}={p}^{\theta }$ 代入，得到 ${T}_{2}=298K{\left(\frac{1}{5}\right)}^{\frac{2}{5}}=229.6K$。
步骤 3：计算绝热可逆膨胀的热力学函数
对于绝热可逆膨胀过程，有 $Q=0$，$\Delta U=-W$，$\Delta H={C}_{p,m}\Delta T$。将 ${T}_{1}=298K$，${T}_{2}=229.6K$，${C}_{V,m}=\frac{3}{2}R$，${C}_{p,m}=\frac{5}{2}R$ 代入，得到 $\Delta U=-1764J\cdot {mol}^{-1}$，$\Delta H=-2941J\cdot {mol}^{-1}$，$W=-1764J\cdot {mol}^{-1}$。
步骤 4：计算绝热恒外压膨胀的终态温度 ${T}_{2}$
对于绝热恒外压膨胀过程，有 ${T}_{1}{V}_{1}^{\gamma }={T}_{2}{V}_{2}^{\gamma }$，其中 $\gamma =\frac{{C}_{p,m}}{{C}_{V,m}}=\frac{5}{3}$。由于 ${p}_{1}{V}_{1}={nRT}_{1}$ 和 ${p}_{2}{V}_{2}={nRT}_{2}$，可以得到 ${T}_{2}={T}_{1}{\left(\frac{{p}_{2}}{{p}_{1}}\right)}^{\frac{\gamma -1}{\gamma }}$。将 ${T}_{1}=298K$，${p}_{1}=5{p}^{\theta }$，${p}_{2}={p}^{\theta }$ 代入，得到 ${T}_{2}=298K{\left(\frac{1}{5}\right)}^{\frac{2}{5}}=229.6K$。
步骤 5：计算绝热恒外压膨胀的热力学函数
对于绝热恒外压膨胀过程，有 $Q=0$，$\Delta U=-W$，$\Delta H={C}_{p,m}\Delta T$。将 ${T}_{1}=298K$，${T}_{2}=229.6K$，${C}_{V,m}=\frac{3}{2}R$，${C}_{p,m}=\frac{5}{2}R$ 代入，得到 $\Delta U=-1189J\cdot {mol}^{-1}$，$\Delta H=-1982J\cdot {mol}^{-1}$，$W=-1189J\cdot {mol}^{-1}$。
单原子分子理想气体的摩尔定容热容 ${C}_{V,m}=\frac{3}{2}R$，摩尔定压热容 ${C}_{p,m}=\frac{5}{2}R$，其中 $R$ 是理想气体常数，$R=8.314J\cdot {mol}^{-1}\cdot {K}^{-1}$。
步骤 2：计算绝热可逆膨胀的终态温度 ${T}_{2}$
对于绝热可逆膨胀过程，有 ${T}_{1}{V}_{1}^{\gamma }={T}_{2}{V}_{2}^{\gamma }$，其中 $\gamma =\frac{{C}_{p,m}}{{C}_{V,m}}=\frac{5}{3}$。由于 ${p}_{1}{V}_{1}={nRT}_{1}$ 和 ${p}_{2}{V}_{2}={nRT}_{2}$，可以得到 ${T}_{2}={T}_{1}{\left(\frac{{p}_{2}}{{p}_{1}}\right)}^{\frac{\gamma -1}{\gamma }}$。将 ${T}_{1}=298K$，${p}_{1}=5{p}^{\theta }$，${p}_{2}={p}^{\theta }$ 代入，得到 ${T}_{2}=298K{\left(\frac{1}{5}\right)}^{\frac{2}{5}}=229.6K$。
步骤 3：计算绝热可逆膨胀的热力学函数
对于绝热可逆膨胀过程，有 $Q=0$，$\Delta U=-W$，$\Delta H={C}_{p,m}\Delta T$。将 ${T}_{1}=298K$，${T}_{2}=229.6K$，${C}_{V,m}=\frac{3}{2}R$，${C}_{p,m}=\frac{5}{2}R$ 代入，得到 $\Delta U=-1764J\cdot {mol}^{-1}$，$\Delta H=-2941J\cdot {mol}^{-1}$，$W=-1764J\cdot {mol}^{-1}$。
步骤 4：计算绝热恒外压膨胀的终态温度 ${T}_{2}$
对于绝热恒外压膨胀过程，有 ${T}_{1}{V}_{1}^{\gamma }={T}_{2}{V}_{2}^{\gamma }$，其中 $\gamma =\frac{{C}_{p,m}}{{C}_{V,m}}=\frac{5}{3}$。由于 ${p}_{1}{V}_{1}={nRT}_{1}$ 和 ${p}_{2}{V}_{2}={nRT}_{2}$，可以得到 ${T}_{2}={T}_{1}{\left(\frac{{p}_{2}}{{p}_{1}}\right)}^{\frac{\gamma -1}{\gamma }}$。将 ${T}_{1}=298K$，${p}_{1}=5{p}^{\theta }$，${p}_{2}={p}^{\theta }$ 代入，得到 ${T}_{2}=298K{\left(\frac{1}{5}\right)}^{\frac{2}{5}}=229.6K$。
步骤 5：计算绝热恒外压膨胀的热力学函数
对于绝热恒外压膨胀过程，有 $Q=0$，$\Delta U=-W$，$\Delta H={C}_{p,m}\Delta T$。将 ${T}_{1}=298K$，${T}_{2}=229.6K$，${C}_{V,m}=\frac{3}{2}R$，${C}_{p,m}=\frac{5}{2}R$ 代入，得到 $\Delta U=-1189J\cdot {mol}^{-1}$，$\Delta H=-1982J\cdot {mol}^{-1}$，$W=-1189J\cdot {mol}^{-1}$。