(6)设总体X服从参数为2的指数分布,-|||-(X1,X2,···,xn)为来自总体X的简单随机样-|||-本,则当 arrow infty 时, _(n)=dfrac (1)(n)sum _(i=1)^n({X)_(i)}^2 依概率收敛-|||-于 __

考查要点：本题主要考查大数定律的应用以及指数分布的期望与方差的计算。

解题核心思路：
题目中要求的是当样本量趋于无穷大时，样本均值的平方的平均值依概率收敛的值。根据辛钦大数定律，独立同分布的随机变量函数的平均值依概率收敛于其期望值。因此，关键在于计算$X_i^2$的期望值。

破题关键点：

1. 指数分布参数的确认：题目中总体$X$服从参数为2的指数分布，需明确参数形式（速率参数$\lambda=2$）。
2. 计算$E(X^2)$：利用方差公式$D(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$，结合指数分布的期望和方差推导。

步骤1：确定指数分布的参数形式
指数分布的速率参数$\lambda=2$，其概率密度函数为：
$f(x) = \begin{cases} 2e^{-2x}, & x \geq 0, \\ 0, & \text{其他}. \end{cases}$
此时，$E(X) = \dfrac{1}{\lambda} = \dfrac{1}{2}$，$D(X) = \dfrac{1}{\lambda^2} = \dfrac{1}{4}$。

步骤2：计算$E(X^2)$
根据方差公式：
$D(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 \implies E(X^2) = D(X) + [E(X)]^2.$
代入已知值：
$E(X^2) = \dfrac{1}{4} + \left(\dfrac{1}{2}\right)^2 = \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{2}.$

步骤3：应用辛钦大数定律
由于$X_1, X_2, \dots, X_n$独立同分布，且$E(X_i^2)$存在，由大数定律得：
$Y_n = \dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} X_i^2 \xrightarrow{P} E(X^2) = \dfrac{1}{2} \quad (n \to \infty).$