题目

27.一质点沿x轴作简谐振动,其角频率 omega =10rad/s; 试分别写出以下两种初始状态-|||-下的振动方程:-|||-(1)初始位移 _(0)=7.5cm, 初始速度 _(0)=75.0cm/s;-|||-(2)初始位移 _(0)=7.5cm, 初始速度 _(0)=-75,0cm/s

题目解答

答案

解析

本题考查简谐振动方程的求解，解题思路是先明确简谐振动方程的一般形式，再根据初始条件求出方程中的振幅和初相位。

简谐振动方程的一般形式为$x = A\cos(\omega t + \varphi)$，其中$A$为振幅，$\omega$为角频率，$\varphi$为初相位。

（1）已知初始位移$x_0 = 7.5cm$，初始速度$v_0 = 75.0cm/s$，角频率$\omega = 10rad/s$

  • 步骤一：求振幅$A$
    对简谐振动方程$x = A\cos(\omega t + \varphi)$求导，可得速度方程$v = -A\omega\sin(\omega t + \varphi)$。
    当$t = 0$时，$x_0 = A\cos\varphi$，$v_0 = -A\omega\sin\varphi$。
    将两式平方相加可得：
    $x_0^2 + (\frac{v_0}{\omega})^2 = A^2\cos^2\varphi + A^2\sin^2\varphi$
    根据三角函数的平方关系$\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$，上式可化简为：
    $A = \sqrt{x_0^2 + (\frac{v_0}{\omega})^2}$
    将$x_0 = 7.5cm$，$v_0 = 75.0cm/s$，$\omega = 10rad/s$代入上式可得：
    $A = \sqrt{(7.5)^2 + (\frac{75.0}{10})^2} = \sqrt{56.25 + 56.25} = \sqrt{112.5} \approx 10.6cm = 10.6\times 10^{-2}m$
  • 步骤二：求初相位$\varphi$
    由$x_0 = A\cos\varphi$可得$\cos\varphi = \frac{x_0}{A}$，将$x_0 = 7.5cm$，$A = 10.6cm$代入可得：
    $\cos\varphi = \frac{7.5}{10.6} \approx 0.708$
    由$v_0 = -A\omega\sin\varphi$可得$\sin\varphi = -\frac{v_0}{A\omega}$，将$v_0 = 75.0cm/s$，$A = 10.6cm$，$\omega = 10rad/s$代入可得：
    $\sin\varphi = -\frac{75.0}{10.6\times 10} \approx -0.708$
    因为$\cos\varphi > 0$，$\sin\varphi < 0$，所以$\varphi$在第四象限，可得$\varphi = -\frac{\pi}{4}$。
  • 步骤三：写出振动方程
    将$A = 10.6\times 10^{-2}m$，$\omega = 10rad/s$，$\varphi = -\frac{\pi}{4}$代入简谐振动方程$x = A\cos(\omega t + \varphi)$可得：
    $x = 10.6\times 10^{-2}\cos(10t - \frac{\pi}{4})(SI)$

（2）已知初始位移$x_0 = 7.5cm$，初始速度$v_0 = -75.0cm/s$，角频率$\omega = 10rad/s$

  • 步骤一：求振幅$A$
    同样根据$A = \sqrt{x_0^2 + (\frac{v_0}{\omega})^2}$，将$x_0 = 7.5cm$，$v_0 = -75.0cm/s$，$\omega = 10rad/s$代入可得：
    $A = \sqrt{(7.5)^2 + (\frac{-75.0}{10})^2} = \sqrt{56.25 + 56.25} = \sqrt{112.5} \approx 10.6cm = 10.6\times 10^{-2}m$
  • 步骤二：求初相位$\varphi$
    由$x_0 = A\cos\varphi$可得$\cos\varphi = \frac{x_0}{A}$，将$x_0 = 7.5cm$，$A = 10.6cm$代入可得：
    $\cos\varphi = \frac{7.5}{10.6} \approx 0.708$
    由$v_0 = -A\omega\sin\varphi$可得$\sin\varphi = -\frac{v_0}{A\omega}$，将$v_0 = -75.0cm/s$，$A = 10.6cm$，$\omega = 10rad/s$代入可得：
    $\sin\varphi = -\frac{-75.0}{10.6\times 10} \approx 0.708$
    因为$\cos\varphi > 0$，$\sin\varphi > 0$，所以$\varphi$在第一象限，可得$\varphi = \frac{\pi}{4}$。
  • 步骤三：写出振动方程
    将$A = 10.6\times 10^{-2}m$，$\omega = 10rad/s$，$\varphi = \frac{\pi}{4}$代入简谐振动方程$x = A\cos(\omega t + \varphi)$可得：
    $x = 10.6\times 10^{-2}\cos(10t + \frac{\pi}{4})(SI)$