题目
3.1 长度为L的线电荷，电荷密度为常数ρ₀。(1)计算线电荷平分面上的电位函数φ；(2)利用直接积分法计算平分面上的E，并用E=-nablavarphi由(1)验证(2)所得结果。
3.1 长度为L的线电荷，电荷密度为常数ρ₀。(1)计算线电荷平分面上的电位函数φ；(2)利用直接积分法计算平分面上的E，并用$E=-\nabla\varphi$由(1)验证(2)所得结果。
题目解答
答案
(1) **电位函数**
利用线电荷电位公式，积分得：
\[
\boxed{\varphi(\rho, 0) = \frac{\rho_{l0}}{2\pi \epsilon_0} \ln \left( \frac{\sqrt{\rho^2 + \left( \frac{L}{2} \right)^2} + \frac{L}{2}}{\rho} \right)}
\]
(2) **电场强度**
直接积分得 $\rho$ 分量：
\[
\boxed{\mathbf{E} = \mathbf{e}_\rho \frac{\rho_{l0}}{4\pi \epsilon_0} \frac{L}{\rho \sqrt{\rho^2 + \left( \frac{L}{2} \right)^2}}}
\]
**注意：**
电位函数和电场强度满足 $\mathbf{E} = -\nabla \varphi$，可相互验证。