题目
8.3 求弱简并理想费米(玻色)气体的压强和熵.
题目解答
答案
解析
步骤 1：理解弱简并理想费米(玻色)气体的定义
弱简并理想费米(玻色)气体是指在低温下，粒子的量子效应开始显现，但仍然接近经典理想气体的行为。在这种情况下，粒子的德布罗意波长与粒子间的平均距离相比很小，即 $n{\lambda }^{3}\lt \lt 1$，其中 $n$ 是粒子数密度，$\lambda$ 是德布罗意波长。
步骤 2：计算压强
对于弱简并理想费米(玻色)气体，压强可以表示为：
\[ p = nkT \left[ 1 \pm \frac{1}{2^{5/2} \Gamma(5/2)} \left( \frac{h^2}{2\pi mkT} \right)^{3/2} \right] \]
其中，$n$ 是粒子数密度，$k$ 是玻尔兹曼常数，$T$ 是温度，$m$ 是粒子质量，$h$ 是普朗克常数，$\Gamma$ 是伽马函数，$\pm$ 号分别对应费米子和玻色子。
步骤 3：计算熵
熵可以通过积分热容与温度的比值来计算：
\[ S = \int \frac{C_v}{T} dT + S_0(V) \]
其中，$C_v$ 是定容热容，$S_0(V)$ 是体积 $V$ 的函数。当 $n{\lambda }^{3}\lt \lt 1$ 时，弱简并理想费米(玻色)气体趋于经典理想气体，据此可以确定函数 $S_0(V)$。对于理想气体，熵可以表示为：
\[ S = N_A \left\{ \ln \left[ \frac{V}{N} \left( \frac{2\pi mkT}{h^2} \right)^{3/2} \right] + \frac{5}{2} \right\} \]
其中，$N_A$ 是阿伏伽德罗常数，$N$ 是粒子数，$V$ 是体积。
弱简并理想费米(玻色)气体是指在低温下，粒子的量子效应开始显现，但仍然接近经典理想气体的行为。在这种情况下，粒子的德布罗意波长与粒子间的平均距离相比很小，即 $n{\lambda }^{3}\lt \lt 1$，其中 $n$ 是粒子数密度，$\lambda$ 是德布罗意波长。
步骤 2：计算压强
对于弱简并理想费米(玻色)气体，压强可以表示为：
\[ p = nkT \left[ 1 \pm \frac{1}{2^{5/2} \Gamma(5/2)} \left( \frac{h^2}{2\pi mkT} \right)^{3/2} \right] \]
其中，$n$ 是粒子数密度，$k$ 是玻尔兹曼常数，$T$ 是温度，$m$ 是粒子质量，$h$ 是普朗克常数，$\Gamma$ 是伽马函数，$\pm$ 号分别对应费米子和玻色子。
步骤 3：计算熵
熵可以通过积分热容与温度的比值来计算：
\[ S = \int \frac{C_v}{T} dT + S_0(V) \]
其中，$C_v$ 是定容热容，$S_0(V)$ 是体积 $V$ 的函数。当 $n{\lambda }^{3}\lt \lt 1$ 时，弱简并理想费米(玻色)气体趋于经典理想气体，据此可以确定函数 $S_0(V)$。对于理想气体，熵可以表示为：
\[ S = N_A \left\{ \ln \left[ \frac{V}{N} \left( \frac{2\pi mkT}{h^2} \right)^{3/2} \right] + \frac{5}{2} \right\} \]
其中，$N_A$ 是阿伏伽德罗常数，$N$ 是粒子数，$V$ 是体积。