5、设X_(1),X_(2),X_(3),X_(4)为来自总体X的样本，且EX=mu，记hat(mu)_(1)=(1)/(2)(X_(1)+X_(2)+X_(3))，hat(mu)_(2)=(1)/(3)(X_(1)+X_(3)+X_(4))，hat(mu)_(3)=(1)/(4)(X_(1)+X_(2)+X_(4))，hat(mu)_(4)=(1)/(5)(X_(2)+X_(3)+X_(4))，则μ的无偏估计是____。A. hat(mu)_(1)B. hat(mu)_(2)C. hat(mu)_(3)D. hat(mu)_(4)

无偏估计的核心在于估计量的期望值等于被估计的参数。本题要求判断四个估计量中哪个是μ的无偏估计。关键在于计算每个估计量的期望，并验证是否等于μ。破题点在于正确应用期望的线性性质，即$E(aX + b) = aE(X) + b$，并注意每个估计量中样本的数量与权重是否匹配。

选项分析

$\hat{\mu}_1 = \frac{1}{2}(X_1 + X_2 + X_3)$

• 计算期望：
  $E(\hat{\mu}_1) = \frac{1}{2}[E(X_1) + E(X_2) + E(X_3)] = \frac{1}{2}(3\mu) = \frac{3\mu}{2} \neq \mu$
• 结论：不是无偏估计。

$\hat{\mu}_2 = \frac{1}{3}(X_1 + X_3 + X_4)$

• 计算期望：
  $E(\hat{\mu}_2) = \frac{1}{3}[E(X_1) + E(X_3) + E(X_4)] = \frac{1}{3}(3\mu) = \mu$
• 结论：是无偏估计。

$\hat{\mu}_3 = \frac{1}{4}(X_1 + X_2 + X_4)$

• 计算期望：
  $E(\hat{\mu}_3) = \frac{1}{4}[E(X_1) + E(X_2) + E(X_4)] = \frac{1}{4}(3\mu) = \frac{3\mu}{4} \neq \mu$
• 结论：不是无偏估计。

$\hat{\mu}_4 = \frac{1}{5}(X_2 + X_3 + X_4)$

• 计算期望：
  $E(\hat{\mu}_4) = \frac{1}{5}[E(X_2) + E(X_3) + E(X_4)] = \frac{1}{5}(3\mu) = \frac{3\mu}{5} \neq \mu$
• 结论：不是无偏估计。