2.平面上的x轴的外测度为0.

本题考查的知识点是外测度的定义及计算，解题思路是根据外测度的定义，通过构造覆盖$x$轴的开区间列，计算其长度和的下确界来判断$x$轴的外测度是否为$0$。

步骤一：明确外测度的定义

设$E$是$\mathbb{R}^n$中的点集，对于任意的$\delta>0$，用一列开区间$\{I_i\}_{i = 1}^{\infty}$覆盖$E$，即$E\subseteq\bigcup_{i = 1}^{\infty}I_i$，记$\sum_{i = 1}^{\infty}|I_i|$为这些开区间长度之和（在$\mathbb{R}^n$中，$|I_i|$表示开区间$I_i$的体积）。外测度$m^*(E)$定义为$m^*(E)=\inf\left\{\sum_{i = 1}^{\infty}|I_i|:E\subseteq\bigcup_{i = 1}^{\infty}I_i\right\}$，也就是所有可能覆盖$E$的开区间列长度和的下确界。

步骤二：构造覆盖$x$轴的开区间列

对于$x$轴上的任意一点$x\in\mathbb{R}$，我们可以用开区间$(x - \frac{\delta}{2}, x+\frac{\delta}{2})$来覆盖它。为了覆盖整个$x$轴，我们可以取一系列这样的开区间。

考虑用开区间列$\{I_n\}$，其中$I_n=(n - \frac{\delta}{2}, n+\frac{\delta}{2})$，$n\in\mathbb{Z}$，显然$\mathbb{R}\subseteq\bigcup_{n = -\infty}^{\infty}I_n$。

步骤三：计算开区间列长度和

每个开区间$I_n=(n - \frac{\delta}{2}, n+\frac{\delta}{2})$的长度$|I_n|=(n+\frac{\delta}{2})-(n - \frac{\delta}{2})=\delta$。

那么$\sum_{n = -\infty}^{\infty}|I_n|=\sum_{n = -\infty}^{\infty}\delta$，由于$\delta>0$，我们可以让$\delta$任意小。

根据外测度的定义，对于任意的$\epsilon>0$，我们取$\delta=\frac{\epsilon}{2}$，此时$\sum_{n = -\infty}^{\infty}|I_n|=\sum_{n = -\infty}^{\infty}\frac{\epsilon}{2}$，并且$m^*(\mathbb{R})\leq\sum_{n = -\infty}^{\infty}|I_n|$。

因为$\epsilon$可以任意小，所以$m^*(\mathbb{R}) = 0$，即平面上的$x$轴的外测度为$0$。