题目
11.12 试写出串联弹簧振子(习题11.6)的哈密顿量和正则方-|||-程.-|||-11.6 试用拉格朗日方法求串联弹簧振子(见-|||-图)的运动微分方程及本征频率.-|||-解 取平衡点为坐标原点,x轴向右.质点动-|||-能、势能、拉氏函数分别为-|||-=dfrac (1)(2)m(x)^2 ,-|||-=dfrac (1)(2)(k)_(1)(x)^2+dfrac (1)(2)(k)_(2)(x)^2 ,-|||-=dfrac (1)(2)m(x)^2-dfrac (1)(2)((k)_(1)+(k)_(2))(x)^2 --|||-代入拉氏方程,即得-|||-+((k)_(1)+(k)_(2))x=0 .-|||-显然系统本征频率为-|||-omega =sqrt (dfrac {{k)_(1)+(k)_(2)}(m)} --|||-k1 k2-|||-m-|||-题 11.6
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定拉氏函数
串联弹簧振子的拉氏函数为 $L = \dfrac{1}{2}m\dot{x}^2 - \dfrac{1}{2}(k_1 + k_2)x^2$，其中 $m$ 是质量，$k_1$ 和 $k_2$ 是弹簧的弹性系数，$x$ 是质点的位移，$\dot{x}$ 是质点的速度。
步骤 2：计算广义动量
广义动量 $p_x$ 定义为 $p_x = \frac{\partial L}{\partial \dot{x}}$。代入拉氏函数，得到 $p_x = m\dot{x}$。
步骤 3：计算哈密顿量
哈密顿量 $H$ 定义为 $H = p_x\dot{x} - L$。代入广义动量和拉氏函数，得到 $H = \frac{p_x^2}{2m} + \frac{1}{2}(k_1 + k_2)x^2$。
步骤 4：写出正则方程
正则方程由 $\dot{x} = \frac{\partial H}{\partial p_x}$ 和 $\dot{p_x} = -\frac{\partial H}{\partial x}$ 给出。代入哈密顿量，得到 $\dot{x} = \frac{p_x}{m}$ 和 $\dot{p_x} = -(k_1 + k_2)x$。
串联弹簧振子的拉氏函数为 $L = \dfrac{1}{2}m\dot{x}^2 - \dfrac{1}{2}(k_1 + k_2)x^2$，其中 $m$ 是质量，$k_1$ 和 $k_2$ 是弹簧的弹性系数，$x$ 是质点的位移，$\dot{x}$ 是质点的速度。
步骤 2：计算广义动量
广义动量 $p_x$ 定义为 $p_x = \frac{\partial L}{\partial \dot{x}}$。代入拉氏函数，得到 $p_x = m\dot{x}$。
步骤 3：计算哈密顿量
哈密顿量 $H$ 定义为 $H = p_x\dot{x} - L$。代入广义动量和拉氏函数，得到 $H = \frac{p_x^2}{2m} + \frac{1}{2}(k_1 + k_2)x^2$。
步骤 4：写出正则方程
正则方程由 $\dot{x} = \frac{\partial H}{\partial p_x}$ 和 $\dot{p_x} = -\frac{\partial H}{\partial x}$ 给出。代入哈密顿量，得到 $\dot{x} = \frac{p_x}{m}$ 和 $\dot{p_x} = -(k_1 + k_2)x$。