题目

（附加题）一半导体不均匀地掺杂了施主杂质原子 N_(D)(x)。(1) 证明热平衡下半导体中所引发的电场为E(x) = -((kT)/(q))(1)/(N_(D)(x))(dN_(D)(x))/(dx);(2) 若 N_(D)(x) = N_(0)cdotexp(-ax)。在 N_(D) >> n_(i) 时，求平衡状态下内建电场 E(x) 的具体表达式。(3) 当 a = 1 mumathrm(m)^-1 时，计算 E(x)。

（附加题）一半导体不均匀地掺杂了施主杂质原子 $N_{D}(x)$。 (1) 证明热平衡下半导体中所引发的电场为$E(x) = -\left(\frac{kT}{q}\right)\frac{1}{N_{D}(x)}\frac{dN_{D}(x)}{dx}$; (2) 若 $N_{D}(x) = N_{0}\cdot\exp(-ax)$。在 $N_{D} >> n_{i}$ 时，求平衡状态下内建电场 $E(x)$ 的具体表达式。 (3) 当 $a = 1 \mu\mathrm{m}^{-1}$ 时，计算 $E(x)$。

题目解答

答案

(1) 根据热平衡条件，$ n(x) \approx N_D(x) $，可得： \[ E(x) = -\left( \frac{kT}{q} \right) \frac{1}{N_D(x)} \frac{dN_D(x)}{dx} \] (2) 当 $ N_D(x) = N_0 \exp(-ax) $ 时： \[ E(x) = \frac{kT}{q} a \] (3) 当 $ a = 1 \, \mu m^{-1} $，$ \frac{kT}{q} = 0.0259 \, \text{V} $，故： \[ E(x) = 0.0259 \, \text{V} \times 10^6 \, \text{m}^{-1} = 2.59 \times 10^4 \, \text{V/m} \] 最终结果： (1) $ E(x) = -\left( \frac{kT}{q} \right) \frac{1}{N_D(x)} \frac{dN_D(x)}{dx} $。 (2) $ E(x) = \frac{kT}{q} a $。 (3) $ E(x) = 2.59 \times 10^4 \, \text{V/m} $。

解析

本题主要考查半导体物理中热平衡状态下电场的相关知识，解题的关键在于利用热平衡条件、泊松方程以及载流子浓度与杂质浓度的关系进行推导。

(1) 证明热平衡下半导体中所引发的电场为$E(x) = -\left(\frac{kT}{q}\right)\frac{1}{N_{D}(x)}\frac{dN_{D}(x)}{dx}$

  • 步骤一：根据热平衡条件确定载流子浓度
    在热平衡状态下，对于$N_{D} \gg n_{i}$的$n$型半导体，多子电子浓度$n(x)$近似等于施主杂质浓度$N_{D}(x)$，即$n(x) \approx N_{D}(x)$。
  • 步骤二：写出泊松方程
    泊松方程为$\frac{dE(x)}{dx}=-\frac{\rho(x)}{\epsilon}$，其中$\rho(x)$是空间电荷密度，$\epsilon$是半导体的介电常数。
    在$n$型半导体中，空间电荷密度$\rho(x)=q(n(x)-p(x)-N_{D}(x))$。由于$N_{D} \gg n_{i}$，少子空穴浓度$p(x)$可以忽略不计，且$n(x) \approx N_{D}(x)$，所以$\rho(x)=q(N_{D}(x)-N_{D}(x)) = 0$。
  • 步骤三：利用电中性条件和载流子浓度关系推导电场表达式
    根据电中性条件$n(x)N_{A}(x)-p(x)N_{D}(x)=0$（这里$N_{A}(x)=0$），以及$n(x)p(x)=n_{i}^{2}$，可得$p(x)=\frac{n_{i}^{2}}{n(x)}$。
    又因为$n(x) \approx N_{D}(x)$，所以$p(x)=\frac{n_{i}^{2}}{N_{D}(x)}$。
    空间电荷密度$\rho(x)=q(n(x)-p(x)-N_{D}(x))=q\left(N_{D}(x)-\frac{n_{i}^{2}}{N_{D}(x)}-N_{D}(x)\right)=-\frac{q n_{i}^{2}}{N_{D}(x)}$。
    将$\rho(x)$代入泊松方程$\frac{dE(x)}{dx}=-\frac{\rho(x)}{\epsilon}$，得到$\frac{dE(x)}{dx}=\frac{q n_{i}^{2}}{\epsilon N_{D}(x)}$。
    在热平衡状态下，$n(x)=n_{i}\exp\left(\frac{qV(x)}{kT}\right)$，对其求导可得$\frac{dn(x)}{dx}=\frac{q n_{i}}{kT}\exp\left(\frac{qV(x)}{kT}\right)\frac{dV(x)}{dx}=\frac{q n(x)}{kT}\frac{dV(x)}{dx}$。
    而$E(x)=-\frac{dV(x)}{dx}$，所以$\frac{dn(x)}{dx}=-\frac{q n(x)}{kT}E(x)$。
    因为$n(x) \approx N_{D}(x)$，则$\frac{dN_{D}(x)}{dx}=-\frac{q N_{D}(x)}{kT}E(x)$，整理可得$E(x) = -\left(\frac{kT}{q}\right)\frac{1}{N_{D}(x)}\frac{dN_{D}(x)}{dx}$。

(2) 若$N_{D}(x) = N_{0}\cdot\exp(-ax)$，在$N_{D} >> n_{i}$时，求平衡状态下内建电场$E(x)$的具体表达式

  • 步骤一：对$N_{D}(x)$求导
    已知$N_{D}(x) = N_{0}\cdot\exp(-ax)$，对其求导，根据求导公式$(e^{ax})^\prime = ae^{ax}$，可得$\frac{dN_{D}(x)}{dx}=-aN_{0}\cdot\exp(-ax)=-aN_{D}(x)$。
  • 步骤二：将$\frac{dN_{D}(x)}{dx}$代入电场表达式
    将$\frac{dN_{D}(x)}{dx}=-aN_{D}(x)$代入$E(x) = -\left(\frac{kT}{q}\right)\frac{1}{N_{D}(x)}\frac{dN_{D}(x)}{dx}$，可得$E(x) = -\left(\frac{kT}{q}\right)\frac{1}{N_{D}(x)}\cdot(-aN_{D}(x))=\frac{kT}{q} a$。

(3) 当$a = 1 \mu\mathrm{m}^{-1}$时，计算$E(x)$

  • 步骤一：单位换算
    已知$a = 1 \mu\mathrm{m}^{-1}=1\times10^{6} \mathrm{m}^{-1}$，$\frac{kT}{q} = 0.0259 \mathrm{V}$。
  • 步骤二：计算$E(x)$
    将$a = 1\times10^{6} \mathrm{m}^{-1}$和$\frac{kT}{q} = 0.0259 \mathrm{V}$代入$E(x) = \frac{kT}{q} a$，可得$E(x) = 0.0259 \mathrm{V} \times 10^{6} \mathrm{m}^{-1} = 2.59 \times 10^{4} \mathrm{V/m}$。