题目
试求理想气体的体胀系数α，压强系数β和等温压缩系数KT。
试求理想气体的体胀系数α，压强系数β和等温压缩系数KT。
题目解答
答案
解析
考查要点：本题要求计算理想气体的三个热力学系数——体胀系数$\alpha$、压强系数$\beta$和等温压缩系数$K_T$。核心思路是正确应用各系数的定义式，并结合理想气体状态方程$PV=nRT$进行推导。
关键点：
- 体胀系数$\alpha$：定义为$\alpha = \dfrac{1}{V}\left(\dfrac{\partial V}{\partial T}\right)_P$，需保持压强$P$恒定，通过$V = \dfrac{nRT}{P}$求导。
- 压强系数$\beta$：定义为$\beta = \dfrac{1}{P}\left(\dfrac{\partial P}{\partial T}\right)_V$，需保持体积$V$恒定，通过$P = \dfrac{nRT}{V}$求导。
- 等温压缩系数$K_T$：定义为$K_T = -\dfrac{1}{V}\left(\dfrac{\partial V}{\partial P}\right)_T$，需保持温度$T$恒定，通过$V = \dfrac{nRT}{P}$求导。
体胀系数$\alpha$
- 根据定义式：$\alpha = \dfrac{1}{V}\left(\dfrac{\partial V}{\partial T}\right)_P$。
- 代入理想气体方程：$V = \dfrac{nRT}{P}$，得$\dfrac{\partial V}{\partial T} = \dfrac{nR}{P}$。
- 代入计算：$\alpha = \dfrac{1}{\dfrac{nRT}{P}} \cdot \dfrac{nR}{P} = \dfrac{P}{nRT} \cdot \dfrac{nR}{P} = \dfrac{1}{T}$。
压强系数$\beta$
- 根据定义式：$\beta = \dfrac{1}{P}\left(\dfrac{\partial P}{\partial T}\right)_V$。
- 代入理想气体方程：$P = \dfrac{nRT}{V}$，得$\dfrac{\partial P}{\partial T} = \dfrac{nR}{V}$。
- 代入计算：$\beta = \dfrac{1}{\dfrac{nRT}{V}} \cdot \dfrac{nR}{V} = \dfrac{V}{nRT} \cdot \dfrac{nR}{V} = \dfrac{1}{T}$。
等温压缩系数$K_T$
- 根据定义式：$K_T = -\dfrac{1}{V}\left(\dfrac{\partial V}{\partial P}\right)_T$。
- 代入理想气体方程：$V = \dfrac{nRT}{P}$，得$\dfrac{\partial V}{\partial P} = -\dfrac{nRT}{P^2}$。
- 代入计算：$K_T = -\dfrac{1}{\dfrac{nRT}{P}} \cdot \left(-\dfrac{nRT}{P^2}\right) = -\dfrac{P}{nRT} \cdot \left(-\dfrac{nRT}{P^2}\right) = \dfrac{1}{P}$。