题目
2.设X1,X2,···,Xn为总体的一个样本,x 1,x2,···,xn为一相应的样本值.求下列各总-|||-体的概率密度或分布律中的未知参数的矩估计量和矩估计值.-|||-(1) f(x)= { ^-(theta +1), xgt c 0, 其他 .
题目解答
答案
解析
步骤 1：计算总体的一阶矩（期望）
为了找到未知参数 $\theta$ 的矩估计量，我们首先需要计算总体的一阶矩（期望）。根据给定的概率密度函数，总体的期望 $E(X)$ 可以表示为：
$$
E(X) = \int_{c}^{\infty} x \cdot f(x) \, dx = \int_{c}^{\infty} x \cdot \theta c^{\theta} x^{-(\theta + 1)} \, dx
$$
步骤 2：计算积分
将概率密度函数代入期望的积分表达式中，我们有：
$$
E(X) = \theta c^{\theta} \int_{c}^{\infty} x^{-(\theta)} \, dx
$$
积分计算如下：
$$
\int_{c}^{\infty} x^{-(\theta)} \, dx = \left[ \frac{x^{-(\theta - 1)}}{-(\theta - 1)} \right]_{c}^{\infty} = \frac{c^{-(\theta - 1)}}{\theta - 1}
$$
因此，总体的期望为：
$$
E(X) = \theta c^{\theta} \cdot \frac{c^{-(\theta - 1)}}{\theta - 1} = \frac{\theta c}{\theta - 1}
$$
步骤 3：求解矩估计量
根据矩估计法，总体的期望 $E(X)$ 应等于样本均值 $\bar{x}$，即：
$$
\frac{\theta c}{\theta - 1} = \bar{x}
$$
解这个方程，得到 $\theta$ 的矩估计量：
$$
\theta = \frac{\bar{x}}{\bar{x} - c}
$$
步骤 4：求解矩估计值
将样本均值 $\bar{x}$ 代入矩估计量的表达式中，得到 $\theta$ 的矩估计值：
$$
\hat{\theta} = \frac{\bar{x}}{\bar{x} - c}
$$
为了找到未知参数 $\theta$ 的矩估计量，我们首先需要计算总体的一阶矩（期望）。根据给定的概率密度函数，总体的期望 $E(X)$ 可以表示为：
$$
E(X) = \int_{c}^{\infty} x \cdot f(x) \, dx = \int_{c}^{\infty} x \cdot \theta c^{\theta} x^{-(\theta + 1)} \, dx
$$
步骤 2：计算积分
将概率密度函数代入期望的积分表达式中，我们有：
$$
E(X) = \theta c^{\theta} \int_{c}^{\infty} x^{-(\theta)} \, dx
$$
积分计算如下：
$$
\int_{c}^{\infty} x^{-(\theta)} \, dx = \left[ \frac{x^{-(\theta - 1)}}{-(\theta - 1)} \right]_{c}^{\infty} = \frac{c^{-(\theta - 1)}}{\theta - 1}
$$
因此，总体的期望为：
$$
E(X) = \theta c^{\theta} \cdot \frac{c^{-(\theta - 1)}}{\theta - 1} = \frac{\theta c}{\theta - 1}
$$
步骤 3：求解矩估计量
根据矩估计法，总体的期望 $E(X)$ 应等于样本均值 $\bar{x}$，即：
$$
\frac{\theta c}{\theta - 1} = \bar{x}
$$
解这个方程，得到 $\theta$ 的矩估计量：
$$
\theta = \frac{\bar{x}}{\bar{x} - c}
$$
步骤 4：求解矩估计值
将样本均值 $\bar{x}$ 代入矩估计量的表达式中，得到 $\theta$ 的矩估计值：
$$
\hat{\theta} = \frac{\bar{x}}{\bar{x} - c}
$$