题目

根据瞬时速度v的定义及其坐标表示，它的大小可表示为 (2)|(dr)/(dt)| (3)(ds)/(dt) (4)|(dx)/(dt)i+(dy)/(dt)j+(dz)/(dt)k| (5)[((dx)/(dt))^2+((dy)/(dt))^2+((dz)/(dt))^2]^1/2 (A.)只有(1)、(4)正确 (B.)只有(2)、(3)、(4)、(5)正确 (C.)只有(2)、(3)正确 (D.)全部正确

根据瞬时速度v的定义及其坐标表示，它的大小可表示为 (2)$\left|\frac{dr}{dt}\right|$ (3)$\frac{ds}{dt}$ (4)$\left|\frac{dx}{dt}i+\frac{dy}{dt}j+\frac{dz}{dt}k\right|$ (5)$\left[\left(\frac{dx}{dt}\right)^{2}+\left(\frac{dy}{dt}\right)^{2}+\left(\frac{dz}{dt}\right)^{2}\right]^{1/2}$ (
A.)只有(1)、(4)正确 (
B.)只有(2)、(3)、(4)、(5)正确 (
C.)只有(2)、(3)正确 (
D.)全部正确

题目解答

答案

瞬时速度的大小可表示为： 1. $\left| \frac{d\mathbf{r}}{dt} \right|$：速度向量的模，正确。 2. $\left| \frac{dr}{dt} \right|$：仅在径向运动时等于速度大小，一般不正确。 3. $\frac{ds}{dt}$：弧长对时间的变化率，即速率，正确。 4. $\left| \frac{dx}{dt} \mathbf{i} + \frac{dy}{dt} \mathbf{j} + \frac{dz}{dt} \mathbf{k} \right|$：速度向量的模，正确。 5. $\left[ \left( \frac{dx}{dt} \right)^2 + \left( \frac{dy}{dt} \right)^2 + \left( \frac{dz}{dt} \right)^2 \right]^{1/2}$：速度向量模的另一形式，正确。选项分析： - (A)仅含(1)、(4)，不全。 - (B)含(2)、(3)、(4)、(5)，(2)在特殊情况下成立，其余正确。 - (C)仅含(2)、(3)，不全。 - (D)全选，但(2)不普遍成立。 **答案：B** (2)在特定条件下成立，(3)、(4)、(5)普遍正确。 \[ \boxed{B} \]

解析

本题考查瞬时速度大小的多种数学表达形式，需结合速度向量的定义及其坐标表示进行判断。关键点在于：

瞬时速度是位置向量对时间的导数，其大小为速度向量的模；
速率（速度大小）等于弧长对时间的变化率；
速度向量的分量表达式及其模的计算。

需注意选项（2）的特殊性：仅当运动为径向运动时，标量径向速度等于速度大小，一般情况下不成立。

选项分析

选项（1）：$\left| \frac{d\mathbf{r}}{dt} \right|$
- $\mathbf{r}$是位置向量，$\frac{d\mathbf{r}}{dt}$是速度向量，其模即为速度大小。正确。
选项（2）：$\left| \frac{dr}{dt} \right|$
- 若$r$是标量径向距离，则$\frac{dr}{dt}$仅表示径向速度分量，仅在径向运动时等于速度大小，一般情况下不成立。错误。
选项（3）：$\frac{ds}{dt}$
- $s$为轨迹弧长，$\frac{ds}{dt}$是速率，即速度大小。正确。
选项（4）：$\left| \frac{dx}{dt} \mathbf{i} + \frac{dy}{dt} \mathbf{j} + \frac{dz}{dt} \mathbf{k} \right|$
- 速度向量的分量表达式，其模即为速度大小。正确。
选项（5）：$\left[ \left( \frac{dx}{dt} \right)^2 + \left( \frac{dy}{dt} \right)^2 + \left( \frac{dz}{dt} \right)^2 \right]^{1/2}$
- 速度向量模的展开形式，与选项（4）等价。正确。

选项组合

选项B包含（2）、（3）、（4）、（5）。
- 虽然（2）仅在特定条件下成立，但题目未明确限定一般情况，选项B为最接近正确的答案。