如图所示,有一根长直导线,载有直流电流I,近旁有一个两条对边与它平行并与它共面的矩形线圈,以匀速度沿垂直于导线的方向离开导线.设t=0时,线圈位于图示位置,求:(1)在任意时刻t通过矩形线圈的磁通量.(2)在图示位置时矩形线圈中的电动势.

步骤 1：计算任意时刻t通过矩形线圈的磁通量
在任意时刻t，矩形线圈的左边界距离长直导线的距离为a+vt，右边界距离长直导线的距离为b+vt。根据毕奥-萨伐尔定律，长直导线产生的磁场强度为$B=\dfrac{{\mu}_0I}{2\pi r}$，其中${\mu}_0$是真空磁导率，I是电流，r是距离导线的距离。因此，穿过矩形线圈的磁通量为
$$\Phi = \int_{a+vt}^{b+vt} B \cdot dS = \int_{a+vt}^{b+vt} \dfrac{{\mu}_0I}{2\pi r} \cdot l \cdot dr$$
其中，l是矩形线圈的长度，r是距离导线的距离。将积分计算出来，得到
$$\Phi = \dfrac{{\mu}_0Il}{2\pi} \ln \left(\dfrac{b+vt}{a+vt}\right)$$
步骤 2：计算在图示位置时矩形线圈中的电动势
根据法拉第电磁感应定律，电动势为
$$\varepsilon = -\dfrac{d\Phi}{dt}$$
将步骤1中得到的磁通量代入，得到
$$\varepsilon = -\dfrac{{\mu}_0Il}{2\pi} \dfrac{d}{dt} \ln \left(\dfrac{b+vt}{a+vt}\right)$$
对时间t求导，得到
$$\varepsilon = -\dfrac{{\mu}_0Il}{2\pi} \cdot \dfrac{v}{b+vt} + \dfrac{{\mu}_0Il}{2\pi} \cdot \dfrac{v}{a+vt}$$
化简得到
$$\varepsilon = \dfrac{{\mu}_0Ilv}{2\pi} \left(\dfrac{1}{a+vt} - \dfrac{1}{b+vt}\right)$$
在图示位置时，t=0，代入上式，得到
$$\varepsilon = \dfrac{{\mu}_0Ilv}{2\pi} \left(\dfrac{1}{a} - \dfrac{1}{b}\right)$$