题目
22单选(4分)-|||-设G(x,y)有连续偏导数,积分 _(c) C(x,y)(ydx+xdy) 与路径无关,则G(x,y)应满足-|||-A. (x,y)=-y(G)_(y)(x,y)-|||-B. _(x)(x,y)=(G)_(y)(x,y)-|||-C. _(x)(x,y)=-(G)_(y)(x,y)-|||-D. (G)_(x)(x,y)=y(G)_(y)(x,y)
题目解答
答案
解析
步骤 1：理解路径无关的条件
积分 ${C}_{c}\quad C(x,y)(ydx+xdy)$ 与路径无关，意味着积分的值只依赖于起点和终点，而与积分路径无关。根据格林公式，这要求被积函数满足一定的偏导数条件。
步骤 2：应用格林公式
根据格林公式，对于一个闭合路径C，积分 $\oint_C (Pdx + Qdy)$ 可以表示为 $\iint_D (\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}) dA$，其中D是C所围成的区域。对于给定的积分 ${C}_{c}\quad C(x,y)(ydx+xdy)$，我们有 $P = C(x,y)y$ 和 $Q = C(x,y)x$。
步骤 3：计算偏导数
为了使积分与路径无关，需要 $\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial P}{\partial y}$。计算这两个偏导数，我们得到：
$\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} (C(x,y)x) = C_x(x,y)x + C(x,y)$
$\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} (C(x,y)y) = C_y(x,y)y + C(x,y)$
步骤 4：设置偏导数相等
为了使积分与路径无关，需要 $\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial P}{\partial y}$，即：
$C_x(x,y)x + C(x,y) = C_y(x,y)y + C(x,y)$
简化得到：
$C_x(x,y)x = C_y(x,y)y$
步骤 5：确定G(x,y)的条件
由于 $C(x,y) = G(x,y)$，我们得到：
$xG_x(x,y) = yG_y(x,y)$
积分 ${C}_{c}\quad C(x,y)(ydx+xdy)$ 与路径无关，意味着积分的值只依赖于起点和终点，而与积分路径无关。根据格林公式，这要求被积函数满足一定的偏导数条件。
步骤 2：应用格林公式
根据格林公式，对于一个闭合路径C，积分 $\oint_C (Pdx + Qdy)$ 可以表示为 $\iint_D (\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}) dA$，其中D是C所围成的区域。对于给定的积分 ${C}_{c}\quad C(x,y)(ydx+xdy)$，我们有 $P = C(x,y)y$ 和 $Q = C(x,y)x$。
步骤 3：计算偏导数
为了使积分与路径无关，需要 $\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial P}{\partial y}$。计算这两个偏导数，我们得到：
$\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} (C(x,y)x) = C_x(x,y)x + C(x,y)$
$\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} (C(x,y)y) = C_y(x,y)y + C(x,y)$
步骤 4：设置偏导数相等
为了使积分与路径无关，需要 $\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial P}{\partial y}$，即：
$C_x(x,y)x + C(x,y) = C_y(x,y)y + C(x,y)$
简化得到：
$C_x(x,y)x = C_y(x,y)y$
步骤 5：确定G(x,y)的条件
由于 $C(x,y) = G(x,y)$，我们得到：
$xG_x(x,y) = yG_y(x,y)$