题目
3.要求一种元件平均使用寿命不得低于1000h，生产者从一批这种元件中随机抽取25件，测得其寿命的平均值为950h.已知该种元件寿命服从标准差为σ=100h的正态分布.试在显著性水平α=0.05下判断这批元件是否合格?设总体均值为μ，μ未知.即需检验假设H_(0)：mugeqslant1000，H_(1)：mu<1000.
3.要求一种元件平均使用寿命不得低于1000h，生产者从一批这种元件中随机抽取25件，测得其寿命的平均值为950h.已知该种元件寿命服从标准差为σ=100h的正态分布.试在显著性水平α=0.05下判断这批元件是否合格?设总体均值为μ，μ未知.即需检验假设$H_{0}：\mu\geqslant1000$，$H_{1}：\mu<1000$.
题目解答
答案
已知条件：
- 样本均值 $\overline{x} = 950$，总体标准差 $\sigma = 100$，样本量 $n = 25$，显著性水平 $\alpha = 0.05$。
- 检验假设：$H_0: \mu \geq 1000$，$H_1: \mu < 1000$。
计算检验统计量：
\[
Z = \frac{\overline{x} - \mu_0}{\sigma / \sqrt{n}} = \frac{950 - 1000}{100 / 5} = -2.5
\]
确定临界值：
\[
-z_{0.05} = -1.645
\]
比较统计量与临界值：
\[
-2.5 < -1.645
\]
结论：
统计量落在拒绝域，拒绝 $H_0$，接受 $H_1$。
\[
\boxed{\text{认为这批元件不合格}}
\]
解析
考查要点：本题主要考查单侧Z检验的应用，涉及正态总体均值的假设检验，需根据样本数据判断总体均值是否低于某个临界值。
解题核心思路：
- 确定检验类型：由于原假设为$H_0: \mu \geq 1000$，备择假设为$H_1: \mu < 1000$，属于左侧检验。
- 选择检验统计量：总体方差已知且服从正态分布，使用Z检验统计量。
- 计算临界值：根据显著性水平$\alpha=0.05$，查标准正态分布表确定左侧临界值。
- 比较统计量与临界值：若检验统计量小于临界值，则拒绝原假设。
破题关键点：
- 正确计算Z值：注意分母为$\sigma / \sqrt{n}$，分子为样本均值与假设均值的差。
- 临界值方向：左侧检验的临界值为负值，需准确查表。
步骤1：写出检验假设
- 原假设：$H_0: \mu \geq 1000$（元件合格）
- 备择假设：$H_1: \mu < 1000$（元件不合格）
步骤2：计算检验统计量
检验统计量公式为：
$Z = \frac{\overline{x} - \mu_0}{\sigma / \sqrt{n}}$
代入已知数据：
$Z = \frac{950 - 1000}{100 / \sqrt{25}} = \frac{-50}{20} = -2.5$
步骤3：确定临界值
左侧检验的临界值为$-z_{\alpha}$，查标准正态分布表得：
$-z_{0.05} = -1.645$
步骤4：比较统计量与临界值
检验统计量$Z = -2.5$小于临界值$-1.645$，因此拒绝原假设，接受备择假设。