[例 12-11 ]计算空气分子在标准状态下的平均自由程和平均碰撞频率。空气分子的有-|||-效直径 =3.5times (10)^-10m ,平均摩尔质量 =2.9times (10)^-2kg/mol

本题考查理想气体分子动理论中平均自由程和平均碰撞频率的计算。解题思路如下：

1. 首先明确平均自由程$\overline{\lambda}$的计算公式，在标准状态下（$T = 273K$，$p = 1.013\times10^{5}Pa$），根据理想气体状态方程$p = nkT$（其中$n$是分子数密度，$k = 1.38\times10^{-23}J/K$是玻尔兹曼常量），可推导出平均自由程$\overline{\lambda}=\frac{kT}{\sqrt{2}\pi d^{2}p}$。
2. 然后计算平均速率$\overline{v}$，根据公式$\overline{v}=\sqrt{\frac{8RT}{M\pi}}$（其中$R = 8.31J/(mol\cdot K)$是普适气体常量，$M$是平均摩尔质量）。
3. 最后根据平均碰撞频率$\overline{z}$与平均速率$\overline{v}$和平均自由程$\overline{\lambda}$的关系$\overline{z}=\frac{\overline{v}}{\overline{\lambda}}$计算平均碰撞频率。

计算平均自由程$\overline{\lambda}$

已知$k = 1.38\times10^{-23}J/K$，$T = 273K$，$d = 3.5\times10^{-10}m$，$p = 1.013\times10^{5}Pa$，将这些值代入平均自由程公式$\overline{\lambda}=\frac{kT}{\sqrt{2}\pi d^{2}p}$可得：
$\begin{align*}\overline{\lambda}&=\frac{1.38\times10^{-23}\times273}{\sqrt{2}\times3.14\times(3.5\times10^{-10})^{2}\times1.013\times10^{5}}m\\&=\frac{1.38\times10^{-23}\times273}{1.414\times3.14\times12.25\times10^{-20}\times1.013\times10^{5}}m\\&=\frac{3.7674\times10^{-21}}{5.44\times10^{-14}}m\\&\approx6.86\times10^{-8}m\end{align*}$

计算平均速率$\overline{v}$

已知$R = 8.31J/(mol\cdot K)$，$T = 273K$，$M = 2.9\times10^{-2}kg/mol$，将这些值代入平均速率公式$\overline{v}=\sqrt{\frac{8RT}{M\pi}}$可得：
$\begin{align*}\overline{v}&=\sqrt{\frac{8\times8.31\times273}{3.14\times2.9\times10^{-2}}}m/s\\&=\sqrt{\frac{18136.56}{9.106\times10^{-2}}}m/s\\&=\sqrt{2\times10^{5}}m/s\\&\approx446.4m/s\end{align*}$

计算平均碰撞频率$\overline{z}$

已知$\overline{v}=446.4m/s$，$\overline{\lambda}=6.86\times10^{-8}m$，将这些值代入平均碰撞频率公式$\overline{z}=\frac{\overline{v}}{\overline{\lambda}}$可得：
$\begin{align*}\overline{z}&=\frac{446.4}{6.86\times10^{-8}}次/s\\&\approx6.5\times10^{9}次/s\end{align*}$