题目
2.载流圆形线圈(半径a1)与正方形线圈(边长a2 )通-|||-有相同电流I。若两个线圈的中心O1、O2处的磁感应强-|||-度大小相同,则半径a1与边长a2之比a1:a2为 __ 。
题目解答
答案
\\sqrt{2}\\pi:8
解析
步骤 1：计算圆形线圈中心处的磁感应强度
根据毕奥-萨伐尔定律，圆形线圈中心处的磁感应强度B1为：
\[ B_1 = \frac{\mu_0 I}{2a_1} \]
其中，\(\mu_0\)是真空磁导率，I是电流，\(a_1\)是圆形线圈的半径。
步骤 2：计算正方形线圈中心处的磁感应强度
正方形线圈中心处的磁感应强度B2可以通过积分计算，但这里我们使用已知结果：
\[ B_2 = \frac{\mu_0 I}{\pi a_2} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)} \]
对于正方形线圈，这个级数可以简化为：
\[ B_2 = \frac{\mu_0 I}{\pi a_2} \cdot \frac{4}{\pi} = \frac{4\mu_0 I}{\pi^2 a_2} \]
步骤 3：使两个线圈中心处的磁感应强度相等
根据题目条件，B1 = B2，即：
\[ \frac{\mu_0 I}{2a_1} = \frac{4\mu_0 I}{\pi^2 a_2} \]
化简得：
\[ \frac{1}{2a_1} = \frac{4}{\pi^2 a_2} \]
\[ a_1 : a_2 = \frac{\pi^2}{8} \]
\[ a_1 : a_2 = \frac{\pi}{\sqrt{8}} = \frac{\pi}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}\pi}{4} \]
\[ a_1 : a_2 = \sqrt{2}\pi : 8 \]
根据毕奥-萨伐尔定律，圆形线圈中心处的磁感应强度B1为：
\[ B_1 = \frac{\mu_0 I}{2a_1} \]
其中，\(\mu_0\)是真空磁导率，I是电流，\(a_1\)是圆形线圈的半径。
步骤 2：计算正方形线圈中心处的磁感应强度
正方形线圈中心处的磁感应强度B2可以通过积分计算，但这里我们使用已知结果：
\[ B_2 = \frac{\mu_0 I}{\pi a_2} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)} \]
对于正方形线圈，这个级数可以简化为：
\[ B_2 = \frac{\mu_0 I}{\pi a_2} \cdot \frac{4}{\pi} = \frac{4\mu_0 I}{\pi^2 a_2} \]
步骤 3：使两个线圈中心处的磁感应强度相等
根据题目条件，B1 = B2，即：
\[ \frac{\mu_0 I}{2a_1} = \frac{4\mu_0 I}{\pi^2 a_2} \]
化简得：
\[ \frac{1}{2a_1} = \frac{4}{\pi^2 a_2} \]
\[ a_1 : a_2 = \frac{\pi^2}{8} \]
\[ a_1 : a_2 = \frac{\pi}{\sqrt{8}} = \frac{\pi}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}\pi}{4} \]
\[ a_1 : a_2 = \sqrt{2}\pi : 8 \]