9、如图所示，一等边三角形边长为a，三个顶点上分别放置着电量为q、2q、3q的三个正点电荷，设无穷远处为电势零点，则三角形中心O处的电势UO=___________________。

考查要点：本题主要考查点电荷电势的叠加原理及等边三角形几何性质的应用。

解题核心思路：

1. 电势叠加原理：总电势等于各点电荷单独存在时在O点产生的电势的代数和。
2. 等边三角形几何关系：确定三个顶点到中心O点的距离，需利用等边三角形的高与重心位置的关系。

破题关键点：

• 正确计算点电荷到O点的距离：等边三角形的重心到顶点的距离为$\frac{\sqrt{3}}{3}a$。
• 代入电势公式：每个点电荷的电势为$U = \frac{kQ}{r}$，将三个电势相加。

步骤1：确定点电荷到O点的距离

等边三角形的高为$h = \frac{\sqrt{3}}{2}a$，重心到顶点的距离为$\frac{2}{3}h$，即：
$r = \frac{2}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}a = \frac{\sqrt{3}}{3}a$

步骤2：计算各点电荷在O点的电势

三个点电荷的电势分别为：
$U_1 = \frac{kq}{r}, \quad U_2 = \frac{k \cdot 2q}{r}, \quad U_3 = \frac{k \cdot 3q}{r}$

步骤3：总电势叠加

总电势为：
$U_O = U_1 + U_2 + U_3 = \frac{kq}{r} + \frac{2kq}{r} + \frac{3kq}{r} = \frac{6kq}{r}$

步骤4：代入$k$和$r$的表达式

将$k = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0}$和$r = \frac{\sqrt{3}}{3}a$代入：
$U_O = \frac{6 \cdot \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \cdot q}{\frac{\sqrt{3}}{3}a} = \frac{6 \cdot 3q}{4\pi \varepsilon_0 \cdot \sqrt{3}a} = \frac{18q}{4\pi \varepsilon_0 \sqrt{3}a} = \frac{3\sqrt{3}q}{2\pi \varepsilon_0 a}$