He-Ne激光器发出λ=632.8 nm的平行光束,垂直照射到一单缝上,在距单缝3 m远的屏上观察夫琅禾费衍射图样,测得两个第二级暗纹间的距离是10 cm,则单缝的宽度a=____mm.

考查要点：本题主要考查单缝衍射的夫琅禾费衍射规律，涉及暗纹位置公式的应用及单位换算。

解题核心思路：

1. 暗纹条件：单缝衍射中，第$k$级暗纹满足$a \sin\theta = k\lambda$，其中$a$为缝宽，$\lambda$为波长。
2. 几何近似：当$\theta$较小时，$\sin\theta \approx \tan\theta = \frac{y}{L}$，可得暗纹位置公式$y = \frac{k\lambda L}{a}$。
3. 对称性：两个第二级暗纹（$k=2$）分布在中心两侧，总间距为$2y$，即总间距公式为$\Delta y = \frac{4\lambda L}{a}$。
4. 代入已知量：通过题目给出的$\Delta y = 0.1\ \text{m}$，联立方程求解$a$。

破题关键：

• 明确“两个第二级暗纹”对应$k=2$的对称位置，总间距为$4\lambda L/a$。
• 注意单位换算（纳米→米，米→毫米）。

步骤1：确定暗纹间距公式

单缝衍射中，第$k$级暗纹的位置为：
$y_k = \frac{k\lambda L}{a}$
其中，$k=2$时，单边暗纹到中心的距离为：
$y_2 = \frac{2\lambda L}{a}$
两个第二级暗纹的总间距为：
$\Delta y = 2y_2 = \frac{4\lambda L}{a}$

步骤2：代入已知量

已知$\Delta y = 0.1\ \text{m}$，$L = 3\ \text{m}$，$\lambda = 632.8\ \text{nm} = 632.8 \times 10^{-9}\ \text{m}$，联立方程：
$\frac{4\lambda L}{a} = 0.1$
解得：
$a = \frac{4\lambda L}{0.1}$

步骤3：计算缝宽$a$

代入数值：
$a = \frac{4 \times 632.8 \times 10^{-9} \times 3}{0.1} = \frac{7593.6 \times 10^{-9}}{0.1} = 75.936 \times 10^{-6}\ \text{m}$
转换为毫米：
$a = 75.936\ \mu\text{m} = 0.075936\ \text{mm} \approx 0.076\ \text{mm}$