题目
如图所示,圆形横截面的试管内放有小石子,试管浮在水面上。已知试管的横截面积为S,总质量为M,平衡时浸在水中的深度为L,水的密度为。现将试管下压L，然后由静止释放,试证明:试管将上下做简谐振动,并写出其振动表达式。
如图所示,圆形横截面的试管内放有小石子,试管浮在水面上。已知试管的横截面积为S,总质量为M,平衡时浸在水中的深度为L,水的密度为
。现将试管下压L，然后由静止释放,试证明:试管将上下做简谐振动,并写出其振动表达式。
题目解答
答案
解:试管受合力
平衡位置
则
,
是简谐振动
解析
步骤 1：确定试管的受力情况
试管在水中受到重力和浮力的作用。重力为$mg$，浮力为$\rho gSx$，其中$x$为试管浸入水中的深度。当试管处于平衡位置时，浸入水中的深度为$L$，此时重力和浮力相等，即$mg=\rho gSL$。
步骤 2：分析试管的运动情况
当试管被下压$L$后，其浸入水中的深度变为$2L$。此时，试管受到的浮力为$\rho gS(2L)$，而重力仍为$mg$。因此，试管受到的合力为$F=mg-\rho gS(2L)$。由于$mg=\rho gSL$，所以$F=-\rho gSL$。这个合力将使试管向上运动，当试管上升到平衡位置以上时，浮力将小于重力，试管将减速并最终停止上升，然后在重力的作用下再次向下运动。这个过程将不断重复，形成简谐振动。
步骤 3：确定简谐振动的表达式
简谐振动的运动方程为$\dfrac {{d}^{2}x}{d{t}^{2}}+\omega ^{2}x=0$，其中$\omega$为振动的角频率。根据牛顿第二定律，试管的加速度$a=\dfrac {F}{m}=-\dfrac {\rho gS}{m}x$。因此，$\omega ^{2}=\dfrac {\rho gS}{m}$，即$\omega =\sqrt {\dfrac {\rho gS}{m}}$。由于$mg=\rho gSL$，所以$\omega =\sqrt {\dfrac {g}{L}}$。简谐振动的表达式为$x=A\cos (\omega t+\varphi )$，其中$A$为振幅，$\varphi$为初相位。由于试管从平衡位置下压$L$后由静止释放，所以$x(0)=L$，$v(0)=0$。因此，$A=L$，$\varphi =0$。所以，简谐振动的表达式为$x=L+L\cos (\sqrt {\dfrac {g}{L}}t)$。
试管在水中受到重力和浮力的作用。重力为$mg$，浮力为$\rho gSx$，其中$x$为试管浸入水中的深度。当试管处于平衡位置时，浸入水中的深度为$L$，此时重力和浮力相等，即$mg=\rho gSL$。
步骤 2：分析试管的运动情况
当试管被下压$L$后，其浸入水中的深度变为$2L$。此时，试管受到的浮力为$\rho gS(2L)$，而重力仍为$mg$。因此，试管受到的合力为$F=mg-\rho gS(2L)$。由于$mg=\rho gSL$，所以$F=-\rho gSL$。这个合力将使试管向上运动，当试管上升到平衡位置以上时，浮力将小于重力，试管将减速并最终停止上升，然后在重力的作用下再次向下运动。这个过程将不断重复，形成简谐振动。
步骤 3：确定简谐振动的表达式
简谐振动的运动方程为$\dfrac {{d}^{2}x}{d{t}^{2}}+\omega ^{2}x=0$，其中$\omega$为振动的角频率。根据牛顿第二定律，试管的加速度$a=\dfrac {F}{m}=-\dfrac {\rho gS}{m}x$。因此，$\omega ^{2}=\dfrac {\rho gS}{m}$，即$\omega =\sqrt {\dfrac {\rho gS}{m}}$。由于$mg=\rho gSL$，所以$\omega =\sqrt {\dfrac {g}{L}}$。简谐振动的表达式为$x=A\cos (\omega t+\varphi )$，其中$A$为振幅，$\varphi$为初相位。由于试管从平衡位置下压$L$后由静止释放，所以$x(0)=L$，$v(0)=0$。因此，$A=L$，$\varphi =0$。所以，简谐振动的表达式为$x=L+L\cos (\sqrt {\dfrac {g}{L}}t)$。