题目
5. 用波长为 5000Á 的单色光垂直照射在缝宽为 0.25mm 的单缝上，在位于透镜焦平面的屏上，测得中央明条纹的两侧第三级暗纹之间的间距为 3.0mm ，试求透镜的焦距。
5. 用波长为 5000Á 的单色光垂直照射在缝宽为 0.25mm 的单缝上，在位于透镜焦平面的屏上，测得中央明条纹的两侧第三级暗纹之间的间距为 3.0mm ，试求透镜的焦距。
题目解答
答案
解：由题意可知，λ=5000埃，b=0.25mm；由bsin θ=±3λ可求出3sin θ＝ 3λb，tanθ≅sinθ＝2，由此得出f=250mm=0.25m。f
解析
步骤 1：确定单缝衍射的暗纹条件
单缝衍射的暗纹条件为：bsinθ = ±mλ，其中b为缝宽，θ为衍射角，m为级数，λ为波长。对于第三级暗纹，m = 3。
步骤 2：计算衍射角
根据题意，中央明条纹的两侧第三级暗纹之间的间距为3.0mm，即2y = 3.0mm，其中y为暗纹到中央明纹的距离。在小角近似下，tanθ ≈ sinθ ≈ θ，因此y = fθ，其中f为透镜的焦距。由此可得θ = y/f = 1.5mm/f。
步骤 3：计算透镜的焦距
将θ = 1.5mm/f代入暗纹条件bsinθ = ±3λ，得到b(1.5mm/f) = 3λ。解此方程可得f = b(1.5mm)/(3λ)。将b = 0.25mm，λ = 5000埃 = 5000×10^-10m代入，得到f = 0.25mm×1.5mm/(3×5000×10^-10m) = 250mm = 0.25m。
单缝衍射的暗纹条件为：bsinθ = ±mλ，其中b为缝宽，θ为衍射角，m为级数，λ为波长。对于第三级暗纹，m = 3。
步骤 2：计算衍射角
根据题意，中央明条纹的两侧第三级暗纹之间的间距为3.0mm，即2y = 3.0mm，其中y为暗纹到中央明纹的距离。在小角近似下，tanθ ≈ sinθ ≈ θ，因此y = fθ，其中f为透镜的焦距。由此可得θ = y/f = 1.5mm/f。
步骤 3：计算透镜的焦距
将θ = 1.5mm/f代入暗纹条件bsinθ = ±3λ，得到b(1.5mm/f) = 3λ。解此方程可得f = b(1.5mm)/(3λ)。将b = 0.25mm，λ = 5000埃 = 5000×10^-10m代入，得到f = 0.25mm×1.5mm/(3×5000×10^-10m) = 250mm = 0.25m。