题目

一质点沿x轴作简谐振动，平衡位置位于坐标原点，已知质点的振动周期为T=8,(s)，振幅为A=0.02,(m)。若t=0时质点位于x=(A)/(2)，并向x轴负方向运动，则该质点振动的角频率为omega=____pi (SI) (答案保留2位小数)，初相为varphi=____pi (SI)。（取0leqvarphi<2pi，答案保留2位小数）

一质点沿x轴作简谐振动，平衡位置位于坐标原点，已知质点的振动周期为$T=8\,\text{s}$，振幅为$A=0.02\,\text{m}$。若$t=0$时质点位于$x=\frac{A}{2}$，并向x轴负方向运动，则该质点振动的角频率为$\omega=$____$\pi$ (SI) (答案保留2位小数)，初相为$\varphi=$____$\pi$ (SI)。（取$0\leq\varphi<2\pi$，答案保留2位小数）

题目解答

答案

根据题目条件，振动周期 $ T = 8 \, \text{s} $，振幅 $ A = 0.02 \, \text{m} $。

  1. 角频率计算：
    $\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{8} = \frac{\pi}{4} = 0.25\pi \, \text{s}^{-1}$
  2. 初相确定：
    当 $ t = 0 $ 时，$ x = \frac{A}{2} $，且质点向 $ x $ 轴负方向运动。
    根据简谐振动方程 $ x(t) = A \cos(\omega t + \phi) $，有：
    $x(0) = A \cos(\phi) = \frac{A}{2} \implies \cos(\phi) = \frac{1}{2}$
    解得 $ \phi = \pm \frac{\pi}{3} $。
    由于 $ t = 0 $ 时质点向负方向运动，即 $ v(0) = -A\omega \sin(\phi) < 0 $，故 $ \sin(\phi) > 0 $。
    因此，$ \phi = \frac{\pi}{3} $。

答案：
第1空：0.25
第2空：0.33

解析

本题考查简谐振动的角频率和初相的计算。解题思路如下：

  1. 对于角频率，根据简谐振动中角频率与周期的关系公式进行计算。
  2. 对于初相，先根据给定的初始位置条件确定初相的可能值，再结合初始时刻的运动方向进一步确定初相。

角频率的计算

简谐振动中，角频率$\omega$与周期$T$的关系为$\omega=\frac{2\pi}{T}$。
已知$T = 8\,\text{s}$，将其代入公式可得：
$\omega=\frac{2\pi}{8}=\frac{\pi}{4}=0.25\pi\,\text{s}^{-1}$

初相的确定

简谐振动的位移方程为$x(t)=A\cos(\omega t + \varphi)$，其中$A$为振幅，$\omega$为角频率，$\varphi$为初相。
当$t = 0$时，$x(0)=A\cos\varphi$，已知$x(0)=\frac{A}{2}$，则有：
$A\cos\varphi=\frac{A}{2}$
两边同时除以$A$（$A\neq0$），得到$\cos\varphi=\frac{1}{2}$。
根据三角函数的性质，在$0\leq\varphi\lt{}2\pi$的条件下，$\cos\varphi=\frac{1}{2}$时，$\varphi=\pm\frac{\pi}{3}$。
简谐振动的速度方程为$v(t)=-A\omega\sin(\omega t + \varphi)$，当$t = 0$时，$v(0)=-A\omega\sin\varphi$。
因为$t = 0$时质点向$x$轴负方向运动，所以$v(0)\lt{}0$，即$-A\omega\sin\varphi\lt{}0$。
由于$A\gt{}0$，$\omega\gt{}0$，所以$\sin\varphi\gt{}0$。
在$\varphi=\pm\frac{\pi}{3}$中，满足$\sin\varphi\gt{}0$的是$\varphi=\frac{\pi}{3}$，$\frac{\pi}{3}\approx1.047$，保留两位小数为$1.05$，而答案中$\frac{\pi}{3}\approx0.33\pi$ 。