题目
设X_1,X_2,...,X_n为来自总体X的简单随机样本，E(X)=mu，D(X)=sigma^2，记hat(mu)_1=(1)/(5)X_1+(3)/(10)X_2+(1)/(2)X_3，hat(mu)_2=(1)/(3)X_1+(1)/(4)X_2+(5)/(12)X_3，hat(mu)_3=(1)/(3)X_1+(3)/(4)X_2+(1)/(12)X_3，则下列选项中正确的是（ ）.A. hat(mu)_1不是mu的无偏估计B. hat(mu)_1,hat(mu)_2,hat(mu)_3都是mu的无偏估计，且hat(mu)_2较hat(mu)_1,hat(mu)_3更有效C. hat(mu)_1,hat(mu)_2,hat(mu)_3都是mu的无偏估计，且hat(mu)_1较hat(mu)_2,hat(mu)_3更有效D. hat(mu)_1,hat(mu)_2,hat(mu)_3都是mu的无偏估计，且hat(mu)_3较hat(mu)_1,hat(mu)_2更有效
设$X_1,X_2,\cdots,X_n$为来自总体X的简单随机样本，$E(X)=\mu$，$D(X)=\sigma^2$，记$\hat{\mu}_1=\frac{1}{5}X_1+\frac{3}{10}X_2+\frac{1}{2}X_3$，$\hat{\mu}_2=\frac{1}{3}X_1+\frac{1}{4}X_2+\frac{5}{12}X_3$，$\hat{\mu}_3=\frac{1}{3}X_1+\frac{3}{4}X_2+\frac{1}{12}X_3$，则下列选项中正确的是（ ）. A. $\hat{\mu}_1$不是$\mu$的无偏估计 B. $\hat{\mu}_1,\hat{\mu}_2,\hat{\mu}_3$都是$\mu$的无偏估计，且$\hat{\mu}_2$较$\hat{\mu}_1,\hat{\mu}_3$更有效 C. $\hat{\mu}_1,\hat{\mu}_2,\hat{\mu}_3$都是$\mu$的无偏估计，且$\hat{\mu}_1$较$\hat{\mu}_2,\hat{\mu}_3$更有效 D. $\hat{\mu}_1,\hat{\mu}_2,\hat{\mu}_3$都是$\mu$的无偏估计，且$\hat{\mu}_3$较$\hat{\mu}_1,\hat{\mu}_2$更有效
题目解答
答案
我们来分析这道题，题目的核心是判断三个估计量 $\hat{\mu}_1, \hat{\mu}_2, \hat{\mu}_3$ 是否为 $\mu$ 的无偏估计，并比较它们的有效性（即方差大小）。
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### 一、判断是否为无偏估计
无偏估计的定义是：
若估计量 $\hat{\mu}$ 满足 $E(\hat{\mu}) = \mu$，则称 $\hat{\mu}$ 是 $\mu$ 的无偏估计。
我们已知：
- $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 是来自总体 $X$ 的简单随机样本，
- $E(X_i) = \mu$, $D(X_i) = \sigma^2$
#### 1. $\hat{\mu}_1 = \frac{1}{5}X_1 + \frac{3}{10}X_2 + \frac{1}{2}X_3$
计算期望：
$$
E(\hat{\mu}_1) = \frac{1}{5}E(X_1) + \frac{3}{10}E(X_2) + \frac{1}{2}E(X_3) = \left(\frac{1}{5} + \frac{3}{10} + \frac{1}{2}\right)\mu
$$
通分：
$$
\frac{1}{5} = \frac{2}{10}, \quad \frac{1}{2} = \frac{5}{10}
\Rightarrow \frac{2}{10} + \frac{3}{10} + \frac{5}{10} = \frac{10}{10} = 1
$$
所以：
$$
E(\hat{\mu}_1) = \mu
$$
✅ $\hat{\mu}_1$ 是 $\mu$ 的无偏估计。
---
#### 2. $\hat{\mu}_2 = \frac{1}{3}X_1 + \frac{1}{4}X_2 + \frac{5}{12}X_3$
$$
E(\hat{\mu}_2) = \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{5}{12}\right)\mu
$$
通分：
$$
\frac{1}{3} = \frac{4}{12}, \quad \frac{1}{4} = \frac{3}{12}
\Rightarrow \frac{4}{12} + \frac{3}{12} + \frac{5}{12} = \frac{12}{12} = 1
$$
✅ $\hat{\mu}_2$ 是 $\mu$ 的无偏估计。
---
#### 3. $\hat{\mu}_3 = \frac{1}{3}X_1 + \frac{3}{4}X_2 + \frac{1}{12}X_3$
$$
E(\hat{\mu}_3) = \left(\frac{1}{3} + \frac{3}{4} + \frac{1}{12}\right)\mu
$$
通分：
$$
\frac{1}{3} = \frac{4}{12}, \quad \frac{3}{4} = \frac{9}{12}
\Rightarrow \frac{4}{12} + \frac{9}{12} + \frac{1}{12} = \frac{14}{12} > 1
$$
所以：
$$
E(\hat{\mu}_3) = \frac{14}{12}\mu \ne \mu
$$
❌ $\hat{\mu}_3$ 不是 $\mu$ 的无偏估计。
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### 二、比较有效性（方差大小）
无偏估计中，方差越小越有效。
由于 $X_1, X_2, X_3$ 是独立同分布的，且 $D(X_i) = \sigma^2$，所以：
$$
D(\hat{\mu}_i) = \sum_{j=1}^3 a_{ij}^2 \cdot \sigma^2
$$
#### 1. $\hat{\mu}_1 = \frac{1}{5}X_1 + \frac{3}{10}X_2 + \frac{1}{2}X_3$
系数平方和：
$$
\left(\frac{1}{5}\right)^2 + \left(\frac{3}{10}\right)^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{25} + \frac{9}{100} + \frac{1}{4}
$$
通分：
$$
\frac{1}{25} = \frac{4}{100}, \quad \frac{1}{4} = \frac{25}{100}
\Rightarrow \frac{4 + 9 + 25}{100} = \frac{38}{100} = 0.38
$$
所以：
$$
D(\hat{\mu}_1) = 0.38\sigma^2
$$
---
#### 2. $\hat{\mu}_2 = \frac{1}{3}X_1 + \frac{1}{4}X_2 + \frac{5}{12}X_3$
系数平方和：
$$
\left(\frac{1}{3}\right)^2 + \left(\frac{1}{4}\right)^2 + \left(\frac{5}{12}\right)^2 = \frac{1}{9} + \frac{1}{16} + \frac{25}{144}
$$
通分：
$$
\frac{1}{9} = \frac{16}{144}, \quad \frac{1}{16} = \frac{9}{144}
\Rightarrow \frac{16 + 9 + 25}{144} = \frac{50}{144} \approx 0.3472
$$
所以：
$$
D(\hat{\mu}_2) \approx 0.3472\sigma^2
$$
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#### 3. $\hat{\mu}_3$ 不是无偏估计，不参与比较。
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### 三、结论
- $\hat{\mu}_1$ 和 $\hat{\mu}_2$ 是无偏估计，$\hat{\mu}_3$ 不是；
- $\hat{\mu}_2$ 的方差更小，因此更有效。
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### ✅ 正确选项是：
$$
\boxed{B. \hat{\mu}_1,\hat{\mu}_2,\hat{\mu}_3} \text{都是} \mu \text{的无偏估计，且} \hat{\mu}_2 \text{较} \hat{\mu}_1,\hat{\mu}_3 \text{更有效}
$$
（注意：虽然 $\hat{\mu}_3$ 不是无偏估计，但选项中说“都是无偏估计”，是错误的。）
---
### ❌ 但题目中选项 B 是错误的！
我们再看其他选项：
- A：$\hat{\mu}_1$ 不是无偏估计 ❌（错，$\hat{\mu}_1$ 是无偏的）
- B：$\hat{\mu}_1, \hat{\mu}_2, \hat{\mu}_3$ 都是无偏估计 ❌（$\hat{\mu}_3$ 不是）
- C：$\hat{\mu}_1$ 更有效 ❌（$\hat{\mu}_2$ 更有效）
- D：$\hat{\mu}_3$ 更有效 ❌（$\hat{\mu}_3$ 不是无偏估计）
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### ✅ 正确答案应为：
$$
\boxed{\text{B（但选项有误，实际应为：}} \hat{\mu}_1, \hat{\mu}_2 \text{是无偏估计，} \hat{\mu}_2 \text{更有效。}}
$$
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### ✅ 最贴近正确答案的选项是：
$$
\boxed{B}
$$
（虽然选项 B 的前半句有误，但它是四个选项中最接近正确的）
解析
本题考查参数估计中无偏估计和有效性的概念。解题思路是先根据无偏估计的定义判断$\hat{\mu}_1$、$\hat{\mu}_2$、$\hat{\mu}_3$是否为$\mu$的无偏估计，再通过计算它们的方差来比较有效性，方差越小越有效。
一、判断是否为无偏估计
无偏估计的定义为：若估计量$\hat{\mu}$满足$E(\hat{\mu}) = \mu$，则称$\hat{\mu}$是$\mu$的无偏估计。已知$E(X_i) = \mu$，$D(X_i) = \sigma^2$，$i = 1,2,3$。
- 对于$\hat{\mu}_1 = \frac{1}{5}X_1 + \frac{3}{10}X_2 + \frac{1}{2}X_3$：
根据期望的线性性质$E(aX + bY)=aE(X)+bE(Y)$，可得：
$E(\hat{\mu}_1) = \frac{1}{5}E(X_1) + \frac{3}{10}E(X_2) + \frac{1}{2}E(X_3)=\left(\frac{1}{5} + \frac{3}{10} + \frac{1}{2}\right)\mu$
通分计算$\frac{1}{5} + \frac{3}{10} + \frac{1}{2}=\frac{2}{10}+\frac{3}{10}+\frac{5}{10} = 1$，所以$E(\hat{\mu}_1) = \mu$，$\hat{\mu}_1$是$\mu$的无偏估计。 - 对于$\hat{\mu}_2 = \frac{1}{3}X_1 + \frac{1}{4}X_2 + \frac{5}{12}X_3$：
同理可得$E(\hat{\mu}_2) = \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{5}{12}\right)\mu$
通分计算$\frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{5}{12}=\frac{4}{12}+\frac{3}{12}+\frac{5}{12} = 1$，所以$E(\hat{\mu}_2) = \mu$，$\hat{\mu}_2$是$\mu$的无偏估计。 - 对于$\hat{\mu}_3 = \frac{1}{3}X_1 + \frac{3}{4}X_2 + \frac{1}{12}X_3$：
同理可得$E(\hat{\mu}_3) = \left(\frac{1}{3} + \frac{3}{4} + \frac{1}{12}\right)\mu$
通分计算$\frac{1}{3} + \frac{3}{4} + \frac{1}{12}=\frac{4}{12}+\frac{9}{12}+\frac{1}{12}=\frac{14}{12}\neq1$，所以$E(\hat{\mu}_3) = \frac{14}{12}\mu\neq\mu$，$\hat{\mu}_3$不是$\mu$的无偏估计。
二、比较有效性（方差大小）
由于$X_1$、$X_2$、$X_3$相互独立，根据方差的性质$D(aX + bY)=a^2D(X)+b^2D(Y)$，可得$D(\hat{\mu}_i) = \sum_{j = 1}^{3}a_{ij}^2\cdot\sigma^2$。
- 对于$\hat{\mu}_1$：
$D(\hat{\mu}_1)=\left[\left(\frac{1}{5}\right)^2 + \left(\frac{3}{10}\right)^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2\right]\sigma^2=\left(\frac{1}{25} + \frac{9}{100} + \frac{1}{4}\right)\sigma^2$
通分计算$\frac{1}{25} + \frac{9}{100} + \frac{1}{4}=\frac{4}{100}+\frac{9}{100}+\frac{25}{100}=0.38$，所以$D(\hat{\mu}_1) = 0.38\sigma^2$。 - 对于$\hat{\mu}_2$：
$D(\hat{\mu}_2)=\left[\left(\frac{1}{3}\right)^2 + \left(\frac{1}{4}\right)^2 + \left(\frac{5}{12}\right)^2\right]\sigma^2=\left(\frac{1}{9} + \frac{1}{16} + \frac{25}{144}\right)\sigma^2$
通分计算$\frac{1}{9} + \frac{1}{16} + \frac{25}{144}=\frac{16}{144}+\frac{9}{144}+\frac{25}{144}=\frac{50}{144}\approx0.3472$，所以$D(\hat{\mu}_2)\approx0.3472\sigma^2$。
因为$D(\hat{\mu}_2)<D(\hat{\mu}_1)$，所以在无偏估计中$\hat{\mu}_2$更有效。