设X_1,X_2,...,X_n为来自总体X的简单随机样本，E(X)=mu，D(X)=sigma^2，记hat(mu)_1=(1)/(5)X_1+(3)/(10)X_2+(1)/(2)X_3，hat(mu)_2=(1)/(3)X_1+(1)/(4)X_2+(5)/(12)X_3，hat(mu)_3=(1)/(3)X_1+(3)/(4)X_2+(1)/(12)X_3，则下列选项中正确的是（ ）.A. hat(mu)_1不是mu的无偏估计B. hat(mu)_1,hat(mu)_2,hat(mu)_3都是mu的无偏估计，且hat(mu)_2较hat(mu)_1,hat(mu)_3更有效C. hat(mu)_1,hat(mu)_2,hat(mu)_3都是mu的无偏估计，且hat(mu)_1较hat(mu)_2,hat(mu)_3更有效D. hat(mu)_1,hat(mu)_2,hat(mu)_3都是mu的无偏估计，且hat(mu)_3较hat(mu)_1,hat(mu)_2更有效

我们来分析这道题，题目的核心是判断三个估计量 $\hat{\mu}_1, \hat{\mu}_2, \hat{\mu}_3$ 是否为 $\mu$ 的无偏估计，并比较它们的有效性（即方差大小）。 --- ### 一、判断是否为无偏估计 无偏估计的定义是： 若估计量 $\hat{\mu}$ 满足 $E(\hat{\mu}) = \mu$，则称 $\hat{\mu}$ 是 $\mu$ 的无偏估计。 我们已知： - $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 是来自总体 $X$ 的简单随机样本， - $E(X_i) = \mu$, $D(X_i) = \sigma^2$ #### 1. $\hat{\mu}_1 = \frac{1}{5}X_1 + \frac{3}{10}X_2 + \frac{1}{2}X_3$ 计算期望： $$ E(\hat{\mu}_1) = \frac{1}{5}E(X_1) + \frac{3}{10}E(X_2) + \frac{1}{2}E(X_3) = \left(\frac{1}{5} + \frac{3}{10} + \frac{1}{2}\right)\mu $$ 通分： $$ \frac{1}{5} = \frac{2}{10}, \quad \frac{1}{2} = \frac{5}{10} \Rightarrow \frac{2}{10} + \frac{3}{10} + \frac{5}{10} = \frac{10}{10} = 1 $$ 所以： $$ E(\hat{\mu}_1) = \mu $$ ✅ $\hat{\mu}_1$ 是 $\mu$ 的无偏估计。 --- #### 2. $\hat{\mu}_2 = \frac{1}{3}X_1 + \frac{1}{4}X_2 + \frac{5}{12}X_3$ $$ E(\hat{\mu}_2) = \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{5}{12}\right)\mu $$ 通分： $$ \frac{1}{3} = \frac{4}{12}, \quad \frac{1}{4} = \frac{3}{12} \Rightarrow \frac{4}{12} + \frac{3}{12} + \frac{5}{12} = \frac{12}{12} = 1 $$ ✅ $\hat{\mu}_2$ 是 $\mu$ 的无偏估计。 --- #### 3. $\hat{\mu}_3 = \frac{1}{3}X_1 + \frac{3}{4}X_2 + \frac{1}{12}X_3$ $$ E(\hat{\mu}_3) = \left(\frac{1}{3} + \frac{3}{4} + \frac{1}{12}\right)\mu $$ 通分： $$ \frac{1}{3} = \frac{4}{12}, \quad \frac{3}{4} = \frac{9}{12} \Rightarrow \frac{4}{12} + \frac{9}{12} + \frac{1}{12} = \frac{14}{12} > 1 $$ 所以： $$ E(\hat{\mu}_3) = \frac{14}{12}\mu \ne \mu $$ ❌ $\hat{\mu}_3$ 不是 $\mu$ 的无偏估计。 --- ### 二、比较有效性（方差大小） 无偏估计中，方差越小越有效。 由于 $X_1, X_2, X_3$ 是独立同分布的，且 $D(X_i) = \sigma^2$，所以： $$ D(\hat{\mu}_i) = \sum_{j=1}^3 a_{ij}^2 \cdot \sigma^2 $$ #### 1. $\hat{\mu}_1 = \frac{1}{5}X_1 + \frac{3}{10}X_2 + \frac{1}{2}X_3$ 系数平方和： $$ \left(\frac{1}{5}\right)^2 + \left(\frac{3}{10}\right)^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{25} + \frac{9}{100} + \frac{1}{4} $$ 通分： $$ \frac{1}{25} = \frac{4}{100}, \quad \frac{1}{4} = \frac{25}{100} \Rightarrow \frac{4 + 9 + 25}{100} = \frac{38}{100} = 0.38 $$ 所以： $$ D(\hat{\mu}_1) = 0.38\sigma^2 $$ --- #### 2. $\hat{\mu}_2 = \frac{1}{3}X_1 + \frac{1}{4}X_2 + \frac{5}{12}X_3$ 系数平方和： $$ \left(\frac{1}{3}\right)^2 + \left(\frac{1}{4}\right)^2 + \left(\frac{5}{12}\right)^2 = \frac{1}{9} + \frac{1}{16} + \frac{25}{144} $$ 通分： $$ \frac{1}{9} = \frac{16}{144}, \quad \frac{1}{16} = \frac{9}{144} \Rightarrow \frac{16 + 9 + 25}{144} = \frac{50}{144} \approx 0.3472 $$ 所以： $$ D(\hat{\mu}_2) \approx 0.3472\sigma^2 $$ --- #### 3. $\hat{\mu}_3$ 不是无偏估计，不参与比较。 --- ### 三、结论 - $\hat{\mu}_1$ 和 $\hat{\mu}_2$ 是无偏估计，$\hat{\mu}_3$ 不是； - $\hat{\mu}_2$ 的方差更小，因此更有效。 --- ### ✅ 正确选项是： $$ \boxed{B. \hat{\mu}_1,\hat{\mu}_2,\hat{\mu}_3} \text{都是} \mu \text{的无偏估计，且} \hat{\mu}_2 \text{较} \hat{\mu}_1,\hat{\mu}_3 \text{更有效} $$ （注意：虽然 $\hat{\mu}_3$ 不是无偏估计，但选项中说“都是无偏估计”，是错误的。） --- ### ❌ 但题目中选项 B 是错误的！ 我们再看其他选项： - A：$\hat{\mu}_1$ 不是无偏估计 ❌（错，$\hat{\mu}_1$ 是无偏的） - B：$\hat{\mu}_1, \hat{\mu}_2, \hat{\mu}_3$ 都是无偏估计 ❌（$\hat{\mu}_3$ 不是） - C：$\hat{\mu}_1$ 更有效 ❌（$\hat{\mu}_2$ 更有效） - D：$\hat{\mu}_3$ 更有效 ❌（$\hat{\mu}_3$ 不是无偏估计） --- ### ✅ 正确答案应为： $$ \boxed{\text{B（但选项有误，实际应为：}} \hat{\mu}_1, \hat{\mu}_2 \text{是无偏估计，} \hat{\mu}_2 \text{更有效。}} $$ --- ### ✅ 最贴近正确答案的选项是： $$ \boxed{B} $$ （虽然选项 B 的前半句有误，但它是四个选项中最接近正确的）