(本题8分)(0171) 水平小车的B端固定一轻弹簧,弹簧为自然长度时,靠在弹簧上的滑块距小车A端为l=1.lm.已知小车质量M=10kg,滑块质量m=1kg,弹簧的劲度系数k=110N/m.现推动滑块将弹簧压缩Δl=0.05m.并维持滑块与小车静止,然后同时释放滑块与小车.忽略一切摩擦.求:(1)滑块与弹簧刚刚分离时,小车及滑块相对地的速度各为多少?(2)滑块与弹簧分离后,又经多少时间滑块从小车上掉下来?

考查要点：本题主要考查动量守恒定律和机械能守恒定律的综合应用，以及相对运动问题的分析能力。

解题核心思路：

1. 第一问：系统（小车、滑块、弹簧）在水平方向动量守恒，且机械能守恒。通过联立这两个守恒方程，求解分离时的速度。
2. 第二问：分离后，滑块与小车发生相对滑动，根据相对速度和小车长度计算时间。

破题关键点：

• 动量守恒：初始总动量为零，分离后系统总动量仍为零。
• 机械能守恒：弹簧的弹性势能转化为滑块和小车的动能。
• 相对速度：分离后滑块与小车的速度方向相反，相对速度为两者速度大小之和。

第（1）题

动量守恒

系统初始静止，总动量为零。分离时：
$M V + m v = 0 \quad \Rightarrow \quad V = -\frac{m}{M} v$

机械能守恒

弹簧弹性势能转化为动能：
$\frac{1}{2} k (\Delta l)^2 = \frac{1}{2} M V^2 + \frac{1}{2} m v^2$

联立方程

将 $V = -\frac{m}{M} v$ 代入机械能守恒方程：
$\frac{1}{2} k (\Delta l)^2 = \frac{1}{2} m v^2 + \frac{1}{2} M \left( \frac{m^2}{M^2} v^2 \right)$
化简得：
$v^2 = \frac{k (\Delta l)^2 M}{m (M + m)}$
代入数据：
$v = \sqrt{\frac{110 \cdot (0.05)^2 \cdot 10}{1 \cdot (10 + 1)}} = \sqrt{\frac{2.75}{11}} = 0.5 \, \text{m/s} \quad (\text{向右})$
小车速度：
$V = -\frac{1}{10} \cdot 0.5 = -0.05 \, \text{m/s} \quad (\text{向左})$

第（2）题

相对速度

分离后，滑块速度 $v = 0.5 \, \text{m/s}$（右），小车速度 $V = 0.05 \, \text{m/s}$（左），相对速度：
$v_{\text{相对}} = v + V = 0.5 + 0.05 = 0.55 \, \text{m/s}$

时间计算

滑块滑动距离等于小车长度 $l = 1.1 \, \text{m}$：
$t = \frac{l}{v_{\text{相对}}} = \frac{1.1}{0.55} = 2 \, \text{s}$